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1、测量准确度评估讲座(7)中国计量科学研究院 钱钟泰 童光球哈尔滨理工大学 王学伟 马怀俭中国计量学院 宋明顺 顾龙方 7-3不等精度测量列的数据处理 对被测量Y进行m次不等精度测量,所得结果为Yi±U(DYi)(i=1~m),所有i值的误差估计值U(DYi)的覆盖因子均相等。对这样测量列应用最小二乘方法可得出下列计权平均值的处理方法。 对数据Yi取权pi为: pi＝[1/U(DYi)]2／{[1/U(DYs)]2} (7-11) 注意在这样取权的情况下有: pi＝1
2、 (7-12) 则处理结果表示式将为: EmL(Y)=piYi=EYm (7-13) smL(EYm)2=[pi(Yi-EYm)2]／(m-1)=S0/m2 (7-14) smL(DYi)2=Sm(DYi)2＝S0/m2/pi＝Si/m2 (7-15) ν＝(m-1) (7-16) 这方法同样是应用最小二乘方法的处理结果,因此对任何分布的误差的数据都有效,这就是JJG1027-91“规范”4.7条的内容
3、。 7-4相关等精度测量列的数据处理 对Y及DQ同时进行m次测量等精度测量,得到测量列Yi与DQi(i=1~m)；除分别可按(7-2)款处理出EL(Y)=Ym,EL(DQ)＝DQm,Sm(Y)及Sm(DQ)外,可按下式计算出两量的协方差Cov(Y,DQ)及相关系数r(Y,DQ)的估计值: CovmL(Y,DQ)=[(Yi-Ym)(DQi-DQm)]/(m-1) ＝[YiDQi－(Yi)(DQi)/m]／(m-1) (7-17) rmL(Y,DQ)＝CovmL(Y,DQ)／[Sm(Y)Sm(D
4、Q)] (7-18)5 上两式的自由度ν同样为(m-1) 此外,这可应用最小二乘方法,对Y和DQ作回归直线的计算。这时测量方程组将为: a+bDQi=Yi±DY (i=1~m) (7-19) 则最小二乘方法的处理结果为: bmL=CovmL(Y,DQ)/[Sm(DQ)]2 amL=EmL(Y)-bmLEmL(DQ) (7-20) 而amL和bmL的实验标准差及相关系数可通过两测量列的相关系数r(Y,DQ)的估计值用下式表示。 S(bmL)
5、＝bmL{{[1/rmL(Y,DQ)]2－1}/(m-2)}1/2 S(amL)＝S(bmL){[EmL(DQ)]2+(m-1)[Sm(DQ)]2/m}1/2 rmL(amL,bmL)=-EmL(DQ)S(bmL)/S(amL) (7-21) 式(7-21)是由最小二乘方法用残差表示实验标准差的公式推导出来的,公式中的量都是变量Y和DQ的统计参数,而不用计算残差,因此是一组很实用的公式。 还可计算出测量方程组误差DY的实验标准差S(DY)m值: Sm(DY)＝Sm(Y){[1-rmL(Y
6、,DQ)2](m-1)／(m-2)}1/2 (7-22) 这里指出,Sm(DY)和Sm(Y)并非同一量。Sm(Y)反映的是Y对其期望值的分散性,而Sm(DY)则反映量Y对回归直线偏离值的分散性,因此一般情况下有Sm(DY)<7、ρ(Y,DQ)
8、=1时,式(7-21)的S(amL)及S(bmL),及式(7-22)的Sm(DY)都将为零,概率论指出这是量Y和量DQ线性相关的情况,而在这情况下标准差s(Y)并非为零。 回归分析的自由度n为(m-2),因为其未知量是a和b两个。 对于给定的量DQ可用下式计
9、算相应的量Y的估计值Ym/DQ: Ym/DQ＝amL+bmLDQ (7-23) 估计值Ym/DQ的实验标准差S(Ym/DQ)可用下式计算: S(Ym/DQ)=S(bmL)[(DQ-DQm)2+(m-1)Sm(DQ)2/m]1/2 (7-24) 这是JJG1027-91“规范”第4.6条的内容,在这一“规范”第4条中给出的各种公式中大多数都是最小二乘方法的应用结果其估计值将为由争议时最后判断依据,并不受误差概率分布的约束。 7-5对测量列自由度的规定 为保证数据处理结果有足够的可靠
10、性,“规范”第4条要求测量列的自由度不得小于5,本办法要求遵照执行。 7-6覆盖因子的选取及误差中心化极限值的计算 数据处理覆盖因子的选取已于5-2条中作了规定,5将所选定的覆盖因子乘以数据处理标准差估计值,即得相应的中心化极限值。八、误差的综合方法 8-1.误差项DYk期望估计值EL(DYk)的综合方法 当
