k52006年高考第一轮复习数学：13.1 数学归纳法

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1、知识就是力量本文为自本人珍藏版权所有仅供参考※第十三章极限●网络体系总览●考点目标定位1.数学归纳法、极限要求：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.（2）了解数列极限和函数极限的概念.（3）掌握极限的四则运算法则，会求某些数列与函数的极限.（4）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.●复习方略指南极限的概念和方法是近代数学的核心内容，微积分学的基本概念、基本方法在现代实践中越来越多的被应用，并在现代数学及相关学科的研究中不断得到进一步的发展.本章的

2、主要内容由两部分组成，一是数学归纳法，二是极限.学习极限时要注意数列极限和函数极限的联系和区别、函数的极限与函数连续性的渐进性.13.1数学归纳法●知识梳理1.数学归纳法的定义：由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的证明方法：（1）先证明当n=n0（n0是使命题成立的最小自然数）时命题成立；（2）假设当n=k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立，那么就证明这个命题成立，这种证明方法叫数学归纳法.2.数学归纳法的应用：①证恒等式；②整除性的证明；③探求平面几何中的问题

3、；④探求数列的通项；⑤不等式的证明.特别提示（1）用数学归纳法证题时，两步缺一不可;（2）证题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑目标.●点击双基1.设f（n）=+++…+（n∈N*），那么f（n+1）－f（n）等于A.B.C.+D.－知识就是力量解析：f（n+1）－f（n）=++…+++－（++…+）=+－=－.答案：D2.（2004年太原模拟题）若把正整数按下图所示的规律排序，则从2002到2004年的箭头方向依次为解析：2002=4×500+2，而an=4n是每一个下边不封闭的正方形左、上顶点的数.答

4、案：D3.凸n边形有f（n）条对角线，则凸n+1边形有对角线条数f（n+1）为A.f（n）+n+1B.f（n）+nC.f（n）+n－1D.f（n）+n－2解析：由n边形到n+1边形，增加的对角线是增加的一个顶点与原n－2个顶点连成的n－2条对角线，及原先的一条边成了对角线.答案：C4.用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）·…·（n+n）=2n·1·3·…·（2n－1）”，从“k到k+1”左端需增乘的代数式为A.2k+1B.2（2k+1）C.D.解析：当n=1时，显然成立.当n=k时，左边=（k+1）（

5、k+2）·…·（k+k），当n=k+1时，左边=（k+1+1）（k+1+2）·…·（k+1+k）（k+1+k+1）=（k+2）（k+3）·…·（k+k）（k+1+k）（k+1+k+1）=（k+1）（k+2）·…·（k+k）=（k+1）（k+2）·…·（k+k）2（2k+1）.答案：B5.（2004年春季上海，8）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有_________个点.解析：观察图形点分布的变化规律，发现第一个图形只有一个中心点;第二个图形中除中心外还有两边，每边一个点;第三

6、个图形中除中心点外还有三个边，每边两个点;…;依次类推，第n个图形中除中心外有n条边，每边n－1个点，故第n个图形中点的个数为n（n－1）+1.答案：n2－n+1●典例剖析知识就是力量【例1】比较2n与n2的大小（n∈N*）.剖析：比较两数（或式）大小的常用方法本题不适用，故考虑用归纳法推测大小关系，再用数学归纳法证明.解：当n=1时，21＞12，当n=2时，22=22，当n=3时，23＜32，当n=4时，24=42，当n=5时，25＞52，猜想：当n≥5时，2n＞n2.下面用数学归纳法证明：（1）当n

7、=5时，25＞52成立.（2）假设n=k（k∈N*，k≥5）时2k＞k2，那么2k+1=2·2k=2k+2k＞k2+（1+1）k＞k2+C+C+C=k2+2k+1=（k+1）2.∴当n=k+1时，2n＞n2.由（1）（2）可知，对n≥5的一切自然数2n＞n2都成立.综上，得当n=1或n≥5时，2n＞n2；当n=2，4时，2n=n2；当n=3时，2n＜n2.评述：用数学归纳法证不等式时，要恰当地凑出目标和凑出归纳假设，凑目标时可适当放缩.深化拓展当n≥5时，要证2n＞n2，也可直接用二项式定理证：2n=（

8、1+1）n=C+C+C+…+C+C+C＞1+n++=1+n+n2－n＞n2.【例2】是否存在常数a、b、c使等式1·（n2－12）+2（n2－22）+…+n（n2－n2）=an4+bn2+c对一切正整数n成立?证明你的结论.剖析：先取n=1，2，3探求a、b、c的值，然后用数学归纳法证明对一切n∈N*，a、b、c所确定的等式都成立.解：分别用n=1，2，3代入解方程组下面用数学归纳法证明.（1）当n=1时，由上可知等式成立;（2）假设当n=