k52006年高考第一轮复习数学：7.3 对称问题

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1、知识就是力量本文为自本人珍藏版权所有仅供参考7.3对称问题●知识梳理1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题.设P（x0，y0），对称中心为A（a，b），则P关于A的对称点为P′（2a－x0，2b－y0）.2.点关于直线成轴对称问题由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下：设点P（x0，y0）关于直线y=kx+b的对称点为P′（x′，y′），则有可求出x′、y′.·k=－1，=k·+b，特殊

2、地，点P（x0，y0）关于直线x=a的对称点为P′（2a－x0，y0）；点P（x0，y0）关于直线y=b的对称点为P′（x0，2b－y0）.3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下：（1）曲线f（x，y）=0关于已知点A（a，b）的对称曲线的方程是f（2a－x，2b－y）=0.（2）曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+b的对称曲线的求法：设曲线f（x，y）=0上任意一点为P（x0，y0），P点关于直线y=kx+b的对称点为P′（y，x），则由（2）知，

3、P与P′的坐标满足从中解出x0、y0，·k=－1，=k·+b，代入已知曲线f（x，y）=0，应有f（x0，y0）=0.利用坐标代换法就可求出曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+b的对称曲线方程.4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点（x，y）关于x轴的对称点为（x，－y）；（2）点（x，y）关于y轴的对称点为（－x，y）；（3）点（x，y）关于原点的对称点为（－x，－y）；（4）点（x，y）关于直线x－y=0的对称点为（y，x）；（5）点（x，y）关于直线x+y=0的对称点为（－y，－x）.●点击双基1.已知点M（a，b）与N关

4、于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x+y=0对称，则点Q的坐标为A.（a，b）B.（b，a）知识就是力量C.（－a，－b）D.（－b，－a）解析：N（a，－b），P（－a，－b），则Q（b，a）．答案：B2.（2004年浙江，理4）曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是A.y2=8－4xB.y2=4x－8C.y2=16－4xD.y2=4x－16解析：设曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线为C，在曲线C上任取一点P（x，y），则P（x，y）关于直线x=2的对称点为Q（4－x，y）.因为Q（4－x，y）在曲线y2=4x上，所

5、以y2=4（4－x），即y2=16－4x.答案：C3.已知直线l1：x+my+5=0和直线l2：x+ny+p=0，则l1、l2关于y轴对称的充要条件是A.=B.p=－5C.m=－n且p=－5D.=－且p=－5解析：直线l1关于y轴对称的直线方程为（－x）+my+5=0，即x－my－5=0，与l2比较，∴m=－n且p=－5.反之亦验证成立.答案：C4.点A（4，5）关于直线l的对称点为B（－2，7），则l的方程为____________.解析：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线.答案：3x－y+3=05.设直线x+4y－5=0的倾斜角为θ，则它关

6、于直线y－3=0对称的直线的倾斜角是____________.解析：数形结合.答案：π－θ●典例剖析【例1】求直线a：2x+y－4=0关于直线l：3x+4y－1=0对称的直线b的方程.剖析：由平面几何知识可知若直线a、b关于直线l对称，它们具有下列几何性质：（1）若a、b相交，则l是a、b交角的平分线；（2）若点A在直线a上，那么A关于直线l的对称点B一定在直线b上，这时AB⊥l，并且AB的中点D在l上；（3）a以l为轴旋转180°，一定与b重合.使用这些性质，可以找出直线b的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件

7、，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程.解得a与l的交点E（3，－2），E点也在b上.解：由2x+y－4=0，3x+4y－1=0，方法一：设直线b的斜率为k，又知直线a的斜率为－2，直线l的斜率为－.则=.知识就是力量解得k=－.代入点斜式得直线b的方程为y－（－2）=－（x－3），即2x+11y+16=0.方法二：在直线a：2x+y－4=0上找一点A（2，0），设点A关于直线l的对称点B的坐标为（x0，y0），由3×+4×－1=0，=，解得B（，－）.由两点式得直线b的方程为=，即2x+11y+16=0.方法三：设直线

8、b上的动点P（x，y）关于l：3x+4y－1=0的对称点Q（x0，y0），则有3×+4×－1=0，=.解得x0=，y0=.