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1、浅谈数学分析中的数学思想张广平(西北师范大学数学与信息科学学院,甘肃兰州730070)摘要:数学知识和蕴含于知识体系中的思想方法是极其丰富的,尤其是隐藏于数学知识背后的数学思想的价值不可忽视.本文对数学分析内容中的函数思想、极限思想、数形结合思想、化归思想进行初步的分析.关键词:数学分析;数学思想;分析中图分类号:O17DiscussiononMathematicalIdeasinMathematicsAnalysisZHANGGuang-ping(CollegeofMathematicsandInformationScience,NorthwestN
2、ormalUniversity,Lanzhou730070,Gansu,China)Abstract:Mathematicalknowledgewithmathematicalideasinknowledgeisextremelyrich,especiallythevalueofmathematicalideasisnotneglectedinknowledge.Inthepartcontentthispaperaboutfunctionthought、limitthought、thoughtofcombinationofnumeralandforma
3、ndinductionthoughtdoinitialexplorationinmathematicsanalysis.Keywords:mathematicsanalysis;mathematicalideas；initialanalysis一、函数思想函数概念和函数思想的提出和运用,使得变量数学诞生了,常量数学发展到变量数学,函数思想起了决定性作用.函数是数学分析的研究对象.函数思想就是运用函数的观点,把常量视作变量、化静为动、化离散为连续,将待解决的问题转化为函数问题,运用函数的性质加以解决的一种思想方法.在数学分析中,我们通常用来解决不等式的证
4、明、方程根的存在性与个数、级数问题、数列极限等.例1证明当时,.分析这是一个不等式证明问题,直接证明有一定难度,但是将此问题转化为函数问题的单调性,即可解决问题.证明构造辅助函数,则,可证当时,,因此单调递增.又因为,所以当时,,即原不等式成立.例2判断的敛散性.分析这是一个级数问题,该级数为交错级数.从函数的观点出发,化离散为连续,转化为函数问题,运用函数的性质,从而解决问题.解该级数为交错级数,由莱布尼兹判别法知,要判断其敛散性,只需判断通项的绝对值=是否单调减少且趋于为.为此,将连续化,设,由于,当时,,即在内单调递减.将特殊值为大于的自然数代入
5、知,也递减且极限为,故此级数收敛.二、极限的思想极限的思想方法是近代数学的一种重要思想方法,数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究初等函数的一门学科.极限是研究无限的有力工具,“极限”揭示了常量与变量、有限与无限、直线与曲线、匀速运动与变速运动对立统一的关系.极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终,一方面利用极限的思想给出了连续函数、导数、定积分、无穷小(大)量、级数的敛散性、多元函数的偏导数、广义积分的敛散性、重积分、曲线积分、曲线弧长、曲面积分等的概念,数学分析中几乎所有的概念都离不开极限的思想.另一方面在闭区间列上的区间套定理体现
6、了极限的思想,泰勒定理中的泰勒公式就是利用多项式函数去逼近已知函数等.学习者以”极限理论”为工具,以现实具体的问题为背景,从具体到抽象,特殊到一般的去理解概念及定理的本质,可以增强分析和解决问题的能力.有时我们要确定某一个量,首先确定的不是这个量的本身而是它的近似值,而且所确定的近似值不仅仅是一个而是一连串趋向于准确值的近似值,从而我们把那个量的准确值确定下来,这就是极限思想.这个无限过程是没完没了的,永无终结的,同时它又使人们看到了无限变化过程的”终结”.下面仅采用极限的思想给出定积分的概念.例3设为闭区间上的连续函数,且.求由曲线、轴、直线与所围成
7、的平面图形的面积.解(1)在上将曲边梯形分成个小曲边梯形.(2)当分割的分点较多时,且当分割的较细密时,每个小曲边梯形都可看成小矩形.第个小曲边梯形面积,其中.此时.(3)当分割的分点无限增大时,即当无限趋近于时,就无限地趋近于曲边梯形的面积,故.三、数形结合的思想数学是研究空间形式和数量关系的科学,而空间形式和数量关系之间往往存在密切的联系,又有各自特点.数形结合思想方法,就是充分利用形的直观性和数的规范性,通过数与形的联系转化来研究数学对象和解决数学问题.具体包括:数转化为形的思想；形转化为数的思想.这种方法使得复杂问题简单化、抽象问题具体化、形象
8、化、直观化,化难为易,最终找到最优解决方案.数形结合的思想在数学分析课程中的应用广泛,很多抽象
