高一数学（人教a版）必修2能力强化提升：4-2-3 直线与圆的方程的应用

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1、一、选择题1．一辆卡车宽1.6m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6m)则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过(　　)A．1.4mB．3.5mC．3.6mD．2.0m[答案]　B[解析]　圆半径OA＝3.6，卡车宽1.6，∴AB＝0.8，∴弦心距OB＝≈3.5.2．与圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则a＝(　　)A．0B．1C．2D．3[答案]　C[解析]　x2＋y2－4x＋3＝0化为标准形式为(x－2)2＋y2＝1，圆心为(2,0)，∵(2,0)关于直线x－y－1＝0对称的点为(1

2、,1)，∴x2＋y2－ax－2y＋1＝0的圆心为(1,1)．∵x2＋y2－ax－2y＋1＝0，即为(x－)2＋(y－1)2＝，圆心为(，1)，∴＝1，即a＝2.3．直线2x－y＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝9交于A、B两点，则△ABC(C为圆心)的面积等于(　　)A．2B．2C．4D．4[答案]　A[解析]　∵圆心到直线的距离d＝＝，∴

3、AB

4、＝2＝4，∴S△ABC＝×4×＝2..4．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线PA、PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A、B两点，则四边形PAOB(O为坐标原点)的面积的最小值等于(　　)A．24

5、B．16C．8D．4[答案]　C[解析]　∵四边形PAOB的面积S＝2×

6、PA

7、×

8、OA

9、＝2＝2，∴当直线OP垂直直线2x＋y＋10＝0时，其面积S最小．5．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是(　　)A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都不对[答案]　B[解析]　由<1，∴a2＋b2>1.6．(2008年山东高考题)已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)A．10B．20C．30D．40[答案]　B[解析]　圆心坐标是(3,4

10、)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为2＝4，所以四边形ABCD的面积为×AC×BD＝×10×4＝20.7．方程＝kx＋2有唯一解，则实数k的范围是(　　)A．k＝±B．k∈(－2,2)C．k<－2或k>2D．k<－2或k>2或k＝±3[答案]　D[解析]　由题意知，直线y＝kx＋2与半圆x2＋y2＝1(y≥0只有一个交点．结合图形易得k<－2或k>2或k＝±.8．(拔高题)台风中心从A地以每小时20km的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险地区，城市B在A的正东4

11、0km外，B城市处于危险区内的时间为(　　)A．0.5hB．1hC．1.5hD．2h[答案]　B[解析]　建系后写出直线和圆的方程，求得弦长为20千米，故处于危险区内的时间为＝1(h)．二、填空题9．已知实数x，y满足x2＋y2－4x＋1＝0.则x－y的最大值和最小值分别是________和________．的最大值和最小值分别是________和________．x2＋y2的最大值和最小值分别是______和______．[答案]　2＋，2－；1，－1；7＋4，7－4[解析]　(1)设x－y＝b则y＝x－b与圆x2＋y2－4x＋1＝0有公共点，即≤

12、，∴2－≤b≤2＋故x－y最大值为2＋，最小值为2－(2)设＝k，则y＝kx与x2＋y2－4x＋1＝0有公共点，即≤∴≤k≤，故最大值为，最小值为－(3)圆心(2,0)到原点距离为2，半径r＝故(2－)2≤x2＋y2≤(2＋)2由此x2＋y2最大值为7＋4，最小值为7－4.10．如下图所示，一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽为________m.[答案]　2[解析]　如下图所示，以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知得A(6，－2

13、)，B(－6，－2)．设圆的半径为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.　①将点A的坐标(6，－2)代入方程①，解得r＝10.∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.　②当水面下降1m后，可设点A′的坐标为(x0，－3)(x0>0)，将A′的坐标(x0，－3)代入方程②，求得x0＝.所以，水面下降1m后，水面宽为2x0＝2.11．已知直线x－2y－3＝0与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9相交于E，F两点，圆心为点C，则△CEF的面积等于________．[答案]　2[解析]　∵圆心C(2，－3)到直线的距离为d＝＝，又R＝3，

14、∴

15、EF

16、＝2＝4.∴S△CEF＝

17、EF

18、·d＝2.12．若点P在直线l1：x＋y＋3＝0上，过点P的直线l