欲善其事，先利其器论文

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1、欲善其事，先利其器论文在中学数学教学中，解题是学习课程的一个实践性环节，是实现教学目的的重要手段。解题是一种能力，平时说的“数学尖子”就是指解题能力强的同学。波利亚说过：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练。”他还有一句脍炙人口的名言：“掌握数学就是意味着善于解题。”这都充分说明了解题的重要性。中学生写议论文往往要按步进行，解题也是如此。解题需要分三步进行，即：弄清题意，拟定计划，实施计划。计划的产生.freelx--1nx，m∈R。（1）求θ的值。（2）若f（x）-g（x）在1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围。（3）设h（x）=，若在1，e上至少存在一个x0，使得f（x0）-g（

2、x0）h(x0)成立，求m的取值范围。解题思路：这道题目中，可将（1）问中的sinθ视为1，函数基本模型还原，就可以得到此题是利用求导解决函数单调性问题。从而由题意得知：g′（x）=+≥0在1，+∞）上恒成立，即≥0。在解这个不等式时，仍可将sinθ视为1，还原为求解分式不等式，找到基本思路。∵θ∈（0，π），∴sinθ0。故sinθ·x-1≥0在1，+∞）上恒成立，只需sinθ·1-1≥0，即sinθ≥1，只有sinθ=1。结合θ∈（0，π），得θ=。在（2）中，f（x）-g（x）=mx--21nx，也可以将m视为1，认清是含有分式函数、对数函数在内的函数单调性求导问题。因为f（x）-g

3、（x）在其定义域内为单调函数，所以（f（x）-g（x））′=，所以mx2-2x+m≥0或者mx2-2x+m≤0在1，+∞）恒成立。mx2-2x+m≥0等价于m（1+x2）≥2x，即m≥，故m的取值范围是(-∞，0∪1，+∞）。在（3）中构造出F（x）=f（x）-g（x）-h（x），F（x）=mx--21nx-。仍可以用这样的想法来理清解题思路，后分类进行讨论，解得m。在平时的检测中，如果碰到一些字母或参数较多的问题，只要本着“多就是1”的原则，就会成竹在胸，不会有恐惧感，心定气闲之余，问题也就迎刃而解。例如（08江苏高考第11题）：已知x、y、z∈R+，x-2y+3z=0，则的最小值___

4、___。说明：本题有着将三元化为二元的思想，由x-2y+3z=0得y=，代入，利用二元基本不等式问题轻松解决。再如：在△ABC中，a、b、c成等差数列，且公差d0，最大角是最小角的2倍，则a∶b∶c=______。分析思路：结合已知条件初步分析，不可能将三条边一一解出来，又因为是求比值，所以在这题中看起来是三条边，其实就是两个元素间的关系问题。带着这个想法，着手分析两个元素，努力找出相互关系。根据a、b、c成等差数列，不直接用2b=a+c，而用b-d、b、b+d，再根据大边对大角、大角为A、小角为C的规律，由正弦定理可得=，即=。运用倍角公式和余弦定理，代入整理有b=-5d，从而得出a∶b

5、∶c=6∶5∶4。二、数即形数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面。面对难以下手的代数形式，可以用相应的几何图形去思考；不好解决的几何图形问题，可以寻找相关的代数形式来解决。通过数与形相互转化的方式解决数学问题，实现数形结合的有机统一，常常会与以下内容有关:(l)实数与数轴上的点的对应关系；(2)函数与图像的对应关系；(3)曲线与方程的对应关系；(4)以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；(5)所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义等。第一种情况：可将较为复杂的代数问题利用相应图像解决。例1、若直角坐标平面中两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数f（

6、x）的图像上，②P、Q关于原点对称，则称点对（P,Q）是函数f（x）的一个“友好点对”。已知f（x），则f（x）的“友好点对”有______个。解题思路：要解决好这个问题，列式分析判断是很困难的。可通过平移、描点得到函数的图像后，将y轴一边的图像与原点对称，就可直接观察交点个数得解。又如：在平面直角坐标系xoy中，若直线y=kx+1与曲线y=

7、x+

8、-

9、x-

10、有四个公共点，则实数k的取值范围是______。这道题如果利用两个式子之间的关系来解答是无从下手的，但若在同一坐标系中先分类讨论去绝对值，将函数分段，作出曲线y=

11、x+

12、-

13、x-

14、的图像，然后将过（0，1）的直线围绕点旋转，很快就能得

15、到符合题目要求的条件，相切位置可通过求导也可通过方程联立求得。第二种情况：题目中给出图形或图形的简单描述，求解相关问题。这种题型一般不能通过图形观察得到所要的结果，这就需要找到与其配套的代数模型，或放在坐标系中用代数方法来研究，将问题简化、破解。例1、若AB=2，AC=2BC，则S△ABC的最大值______。解题思路：本题若知道C点的轨迹是圆，就可以直接通过图形观察什么位置的三角形面积最大。还可以通过以AB所在的直线为