用分析法证明不等式

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1、研究课教案用分析法证明不等式[课型]高二数学课．[目的]通过教学，使学生掌握和应用分析法证明不等式．[重点难点]理解分析法的证题格式并能熟练应用．[方法]比较、发现、讲练结合．[教具]投影仪[过程]一、比较、发现、探讨分析法证明格式：1．给出一道题目的两种证法（用投影片）例1求证：．紧接着教师提出如下问题，让学生在讨论中自主发现分析法及其思路．①证法1是什么证法？其证题思路怎样？②证法2与证法1的思路有什么区别？总结出：证法1与证法2是一种互逆的思路，证法1是“由已知未知”（综合法），证法2是“由未知已知”（分析法）．2．请同学们用证法2的思路证明下列不等式，然后改写成综合法．例

2、2求证：．3．由特殊到一般，用投影片打出分析法证题模式．（已知A，求证B）教师不是先入为主，而是让学生在对比分析中自主地发现分析法的证明思路，从而更能使学生深刻理解分析法的实质及其与综合法的关系．教学过程是不断发现问题、解决问题的思维过程．培养学生由特殊到一般，由具体到抽象的能力．4欲证命题B为真，只需证命题B1为真，只需证命题B2为真，……只需证命题A为真，今已知A真，故B必真．写成简要形式是：．教师小结：从例1、例2可以看出，尽管两例可用综合法证明，但若不先用分析法思索，一开始“14＜18”是很难想到的，甚至无从下手，有时综合法的表述正是建立在分析法思索的基础上，分析法的优越

3、性正体现在此．一、熟练方法、掌握规律、培养技能若把例1改为：求证，下面的证法是否有错？（投影片）证明：要证①只需证②即证③即证④只需证⑤即证⑥只需证63＜64⑦因为63＜64成立⑧所以成立⑨学生自由讨论后，请一位同学回答，教师最后指出错在违背了不等式的性质“若a>b>0，则a2>b2；若ab2”．例2（板书）已知：c>1，求证：．（学生推证，教师巡视，请一同学板书）证明：要证即证只需证即证即证因为c＞1故只需证c2-1＜c2即证－1＜0因为－1＜0显然成立不失时机地联系旧知识，在以新代旧的过程中，数学知识不断地得到深化，学生的思维能力得到提高．4所以成立．教师在

4、巡视过程中要及时提醒，一些同学一开始两边平方对吗？例2已知0

5、复杂的证明题是一种行之有效的方法，得作为证明过程，学生甲的格式不符合要求．如果将此题变化为：①已知0＜a＜b，求证：＜②已知a，b，m且a＜b，求证：＜．又如何证呢？一、一题多解，培养学生思维的广阔性．例4．已知a，b且a，求证:a3+b3＞a2b+ab2（教师鼓励学生至少用一种方法证明）证法一（比差法）：（a3+b3）—（a2b+ab2）=（a+b）(a2–ab+b2)–ab(a+b)=(a+b)(a2–2ab+b2)=(a+b)(a–b)2由a，b，知a+b＞0，a，则（a–b）2＞0，进而(a+b)(a–b)2＞0，而（a3+b3）—（a2b+ab2）＞0，所以:a3+b3

6、＞a2b+ab2．证法二（分析法）：欲证:a3+b3＞a2b+ab2即证(a+b)(a2–2ab+b2)＞ab(a+b)因为a+b＞0故只需证a2–ab+b2＞ab，学生理解了分析法的原理，应予以肯定，忽略分析法证明格式的要及时纠正．变式教学，可使学生由认识得到“升华”，并起到触类旁通、举一反三的效果．分析法和综合法是对立统一的两个方法，教师应着眼于培养学生的能力，使学生能具体问题具体分析，灵活运用各种方法．4即证(a–b)2＞0，因为a所以(a–b)2＞0成立，所以a3+b3＞a2b+ab2成立．证法三（综合法）：由a，知(a–b)2＞0即a2–2ab+b2＞0，则a2–ab+

7、b2＞ab又a+b＞0，则(a+b)(a2–ab+b2)＞ab(a+b)，即a3+b3＞a2b+ab2一、课堂小结：1．这节课主要学习了用分析法证明不等式．分析法是证明不等式时的一种常用基本方法，在证题不知从何下手时，有时可以运用分析法而获得解决．在“执果索因”递推过程中，请同学们小结常用技巧．（通分、约分、多项式乘法、因式分解、去分母、乘方、开方）2．使用这些技巧变形时，要注意遵循不等式性质．二、布置作业1．已知：a1，a2，b1，b2+，求证：．2．求证：．3．若a，b+，求