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《一轮复习配套讲义:第7篇 第7讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第7讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直[最新考纲]1.理解直线的方向向量及平面的法向量.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.知识梳理1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量:l是空间一直线,A,B是直线l上任意两点,则称为直线l的方向向量,与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程组求出:设a,b是平面α内两不共线向量,n为平面α的法向量,则求法向量的方程组为2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示
2、直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2.l1∥l2n1∥n2⇔n1=λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2=0直线l的方向向量为n,平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔m·n=0l⊥αn∥m⇔n=λm平面α,β的法向量分别为n,m.α∥βn∥m⇔n=λmα⊥βn⊥m⇔n·m=0辨析感悟1.平行关系(1)直线的方向向量是唯一确定的.(×)(2)两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),则l1与l2的位置关系是平行.(√)2.垂直关系(3)已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的单位法向
3、量是n0=±.(√)(4)(2014·青岛质检改编)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线NO,AM的位置关系是异面垂直.(√)[感悟·提升]1.一是切莫混淆向量平行与向量垂直的坐标表示,二是理解直线平行与直线方向向量平行的差异,如(2).否则易造成解题不严谨.2.利用向量知识证明空间位置关系,要注意立体几何中相关定理的活用,如证明直线a∥b,可证向量a=λb,若用直线方向向量与平面法向量垂直判定线面平行,必需强调直线在平面外等.学生用书第125页考点一
4、 利用空间向量证明平行问题【例1】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.审题路线 若用向量证明线面平行,可转化为判定向量∥,或证明与平面A1BD的法向量垂直.证明 法一 如图所示,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则可求得M,N,D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0).于是=,=(1,0,1),=(1,1,0).设平面A1BD的法向量是n=(x,y,z).则n·=0,且n·=0,得取x=
5、1,得y=-1,z=-1.∴n=(1,-1,-1).又·n=·(1,-1,-1)=0,∴⊥n,又MN⊄平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.法二 =-=-=(-)=.∴∥,又∵MN与DA1不共线,∴MN∥DA1,又∵MN⊄平面A1BD,A1D⊂平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.规律方法(1)恰当建立坐标系,准确表示各点与相关向量的坐标,是运用向量法证明平行和垂直的关键.(2)证明直线与平面平行,只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零,或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面,或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行
6、,然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.【训练1】(2013·浙江卷选编)如图,在四面体A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.证明:PQ∥平面BCD.证明 如图所示,取BD的中点O,以O为原点,OD,OP所在射线为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知A(0,,2),B(0,-,0),D(0,,0).设点C的坐标为(x0,y0,0),因为=3,所以Q.因为点M为AD的中点,故M(0,,1).又点P为BM的
7、中点,故P,所以=.又平面BCD的一个法向量为a=(0,0,1),故·a=0.又PQ⊄平面BCD,所以PQ∥平面BCD.考点二 利用空间向量证明垂直问题【例2】(2014·济南质检)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明:AP⊥BC;(2)若点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC⊥平面BMC.证明 (1)如图所示,以O为坐标原点,以射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系O-xyz.则O(0,0,0),A(0,-3,
8、0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).于是=(0,3,4),=(-8,0,0),∴·=(0,3,4)·(-8,0,0)=0,所以⊥,即AP⊥BC.(2)由(1)知
9、AP