第七章约束极值问题

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1、§6多目标决策分析简介一、问题的提出如设计导弹,射程远,耗料少,命中高等多目标.如企业生产,费用最少,质量最好,利润最大等.一般只能是兼顾,满意等二、基本概念一般形式其中为目标函数,第27页共27页为约束条件,为决策变量.记,称为VP的可行解集(决策空间),F(R)=为VP像集.定义1设,若对,有则称为VP的绝对最优解,解集记.一般很难,或根本不存在,故引入非劣解或有效解.意大利经济学家Pareto:第27页共27页当一个国家的资源和产品是以这样一种方式配置时，即没有一种重新配置，能够在不使一个其他人的生活恶化的情况下改善任何人的生活，则

2、可以说处于Pareto最优.定义2设,若不存在,使且至少有一个,则称为VP的有效解(或Pareto最优解),称为有效点.第27页共27页有效解集记为和有效点集记为常转化为加权形式的一个单目标函数,其中(,不加证明地引入:定理1设是单目标问题的最优解,若下面两个条件之一成立,则1);2)是的惟一解.第27页共27页定理2设是凸函数.若设是多目标问题的有效解,则存在,使得是的最优解.三、权系数的确定这里假设:决策者是根据综合效用(最大)来决策,则基本思想为:对重要的分量,给大权.即假设决策者的效用函数为:第27页共27页其中为给出的每个属性的

3、效用函数,只要再确定权系数,就可求出使的决策(或解).确定方法有:1.专家法首先给专家填表,然后汇总,如右表算出均值,算出偏差,让偏差大的发言,修改权系数,直到基本满意为止.有一定的科学性.第27页共27页2.特征向量法利用AHP法确定权系数,即确定判断CI满意后,求出,求出特征向量即为权系数.四、有限方案的多目标决策方法(关于max的)1.决策矩阵及其规范化第27页共27页设为可行方案,为属性集(相当于各目标)每个方案关于属性的结果记为:作决策矩阵,如右图.统一量纲的方法有(各目标物理量不一致)(1)列向量规范化:第27页共27页(2)

4、线性变换,设若希望愈大愈好,则令若希望愈小愈好,则令(注:各目标都归结为最大,如设,则(3)其它变换第27页共27页若望大,则选,若望小,则选2.简单线性加权法设为第个目标的效用值,通过求选择使综合效用值最大的方案作为最优方案.第27页共27页例某人拟购买一套住房,有四处地点可选,有关信息如右表.解设决策人对各属性比较后得用AHP方法,可求得特征向量(已作归一化)第27页共27页clear;clca=[11/31/21/41/5;31211/2;21/211/21/2;41211;52211];n=5;fori=1:5temp=1;for

5、j=1:5temp=temp*a(i,j);end;w(i)=temp^(1/n);第27页共27页end;wsum=sum(w);w=w/wsumlmbdmax=(1./w)*a*w'/n[v,d]=eig(a)(有误差)规范化表第27页共27页对第1,3列用规范化;对第2,4,5列用规范化;然后计算出每个方案的综合效用第27页共27页得到:,,,,所以选第1方案.***补充:1.基本解法例1设第27页共27页求.解单个最优解;是同一个点,所以是问题的最优解.2.变量空间与目标函数空间的图解法第27页共27页clear;clf;x=[0

6、:1/50:1];f1=2*x-x.^2;f2=x;fori=1:size(x,2)subplot(121);axis([0,2,-1,1]);plot(x(i),f1(i),'.');holdon;plot(x(i),f2(i),'.');subplot(122);axis([01-11]);plot(f1(i),f2(i),'.');holdon;pause(0.1);endx=[1:1/50:2];f1=2*x-x.^2;f2=-2*x+3;fori=1:size(x,2)subplot(121);plot(x(i),f1(i),'

7、.');holdon;plot(x(i),f2(i),'.');subplot(122);plot(f1(i),f2(i),'.');holdon;第27页共27页pause(0.1);end例2设,求最大.解易得单独的,无公共解.内都是非劣解.第27页共27页例3设,求最大.解易求得,无公共解.内都是非劣解.clear;clf;x=[0:1/50:2];f1=2*x-x.^2;f2=(-12*x.^2+36*x-15)/8;fori=1:size(x,2)subplot(121);axis([0,2,-2,2]);plot(x(i),f

8、1(i),'.');holdon;plot(x(i),f2(i),'.');第27页共27页subplot(122);axis([01-22]);plot(f1(i),f2(i),'.');h