广义正定矩阵-数学与应用数学本科学位论文.doc

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1、本科毕业论文题目广义正定矩阵学院：数学与计算机科学学院班级：数学与应用数学2007级5班姓名：xx指导教师：xx职称：副教授完成日期：2015年5月18日广义正定矩阵摘要：对于正定矩阵的理论，在实际应用中有非常广泛的应用，但在本科阶段的教材中，讨论的都不够充分，以至于我们不能很好的理解和应用.教材中涉及了矩阵的常规正定性，虽然在几何学，物理学以及概率论等学科中都得到了重要的应用，但随着数学本身以及应用矩阵的其他学科的发展，越来越感到不能满足需要，所以研究广义正定矩阵已成为一种必然.本文研究了未必对称的较广义

2、的几种正定矩阵，给出了他们的定义及其这些广义矩阵的关系,接着又比较深入的讨论了各类正定矩阵的等价描述和其性质.这种较为广义的正定矩阵在数学规划的最优算法中，在严格的凸向量函数的检验中，以及在各种线性回归模型结构的基本理论中都得到了重要的应用.关键词：对称正定矩阵；实正定矩阵；广义正定矩阵；行列式；特征根目录1正定矩阵及广义正定矩阵的相关定义12上述正定矩阵类的关系及相关推论13上述正定矩阵类的等价描述及其相关性质33.1对称正定矩阵33.2实正定矩阵43.2.1实正定矩阵的等价描述及其性质43.3广义正定矩

3、阵83.3.1的等价描述及其性质83.3.2对于有下列等价描述及性质9参考文献14谢词1611正定矩阵及广义正定矩阵的相关定义正定矩阵在矩阵论中占有十分重要的地位，在实际中有非常广泛的应用，历史上，正定矩阵的研究最先出现在二次型与Hermite型的研究中，它的常规定义是：定义1设.若，对任意的，都有，则称为对称正定矩阵,记为.定义2设，若(代表的共轭转置)，对都有，则称A为hermite正定矩阵，记为.1970年，C.R.Johnson给出了较广义的正定矩阵.定义3设，若对任意的，都有，则称为实正定矩阵，记

4、为.1984年，佟文延把这种正定性推广为：定义4设，若对任意的，都有正对角矩阵>0，使.则称为广义的正定矩阵，记为，若与x无关，则记为.1988年夏长富又将实矩阵的正定性作为进一步推广，他给出了：定义5设，若对，都存在实对称矩阵（即），使得，则称为正定矩阵，记为，特别地若与无关时，记为.2上述正定矩阵类的关系及相关推论下面我们给出这些矩阵类的包含关系及相关命题命题1证明任取，则,显然.再取则对任何，都有=+>0.因此.但,即,故.16取知.再取，.则对任何，都有.因此.但当=0，不全为零，而==0,==0.

5、由此知,故.显然.故命题得证.命题2的充要条件是：证明由等式：注意到.即知的充要条件是：命题得证.命题3广义实正定矩阵和对称正定矩阵、实正定矩阵有如下关系：,使或证明:若，则,使对，有,(1)即,显知,而或者将（1）式改写为：即,而,显知：若,,使,则.因,.有或者，若,使，则，有.因，所以又因.所以综上所述，命题得证.说明：对称正定矩阵和实正定矩阵之积为广义实正定矩阵，这也可作为广义正定矩阵的定义和判据.163上述正定矩阵类的等价描述及其相关性质3.1对称正定矩阵命题1设则（1）的主对角元素全大于0（2）

6、中绝对值最大元素在主对角线上.证明（1）经过若干次行列合同变换，可将换到，故.（2）反证法：假定（）是的绝对值最大元素，而因为，即正定，所以的所有主子式全大于0，由此我们只需证明第行第行与第列第列交点上元素组成的矩阵不是正定矩阵即可.考虑矩阵（假定）注意到，且所以所以这个矩阵一定不是正定矩阵.证毕.命题2若是严格对角占优矩阵且主对角线上的元素全为正，又满足则.证明(1)首先证明设由于是严格对角占优矩阵，则有更有（反证法）由于线性方程组只有零解得冲要条件是.假设有非零解，记，方程组的第个方程为整理得于是从而与

7、条件矛盾16故只有零解，即.（2）再证构造矩阵那么，显然满足，故.注意到展开后是的连续函数，且，.以下用反证法证明.假设，则有，但，由零点定理，存在使矛盾.故(3)显然的所有顺序主子式均为严格对角占优矩阵，故对的任意顺序主子式恒大于0.由课本定理知.3.2实正定矩阵用表示域上阶矩阵的集合.设，用表示的转置；用表示的共轭转置；表示的伴随矩阵；表示去掉第行与列后剩下的阶主子阵，表示的特征.设,有记，分别称为的对称与反对称部分.3.2.1实正定矩阵的等价描述及其性质命题设，则下列各条等价：(1)实正定，即对任意的

8、，都；有（2）对任意的非奇异，实正定（3）实正定即对任意的，都有(4)实正定(5)实正定即对任意16的，都有（6）实正定且性质1假设实正定，则：（1）对任意的，都有(2)的所有主子矩阵的特征根满足;(4)的所有主子式大于0，特别地>0;(5)对任意,令,则存在，使得;（6）存在复数域上的阶矩阵，使得:，，其中，；（7）若实正定，则对任意，实正定，即阶实正定矩阵集合为一凸集；证明（1）只需证即可，，,故（2），，对