自控李红星第2章习题解答

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1、2-1试证明题2-1图所示电路系统与机械系统是相似系统。xiC1f2K2R2uR1uf1xi00C2K1(a)(b)题2-1图证明：（a）图，根据复阻抗概念，有传递函数1R+22U(s)CsRRCCs+(RC+RC)s+1O212121122==12U(s)RRCCs+(RC+RC+RC)s+1i•R121211221211Cs1R++2Cs12+R1Cs1（b）图，设位移为x0点为A点，阻尼器f1与弹簧K1之间点为B点，位移为y。则根据A、B两点力的平衡，有，dxdxdxdyioof(−)+K(x−x)=f(−)（1）22io1dtdtdtdtdxdyoKy=f(−)（2）11dt

2、dt两边L氏变换，有(fs+K)X(s)−(fs+K)X(s)=fsX(s)−fsY(s)（3）22i22o1o1KY(s)=fsX(s)−fsY(s)（4）11o1求得(fs+K)X(s)−(fs+K)X(s)22i22oY(s)=,代入（3）中，整理得K1ffff12212s+(+)s+1X(s)KKKKo1212=Xi(s)f1f2s2+(f1+f2+f1)s+1KKKKK12122由传递函数可知，（a）和（b）表示的系统是相似系统，参数相似关系为f~R,f~R112211K~,K~12CC122-2试列写题2-2图所示无源网络的微分方程式。题2-2图解：URRRCs+R021

3、22==U1RRCs+R+RiR+R//121221Cs故dUdU0iRRC+(R+R)U=RRC+RU12120122idtdt−2t−t2-3已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为c(t)=1−2e+e，试求系统的传递函数和脉冲响应。1解:单位阶跃输入时，有R(s)=，依题意s1213s+21C(s)=−+=⋅ss+2s+1(s+1)(s+)2sC(s)3s+2∴G(s)==R(s)(s+1)(s+)2−1−1⎡−14⎤−2t−tk(t)=L[]G(s)=L⎢+⎥=4e−e⎣s+1s+2⎦C(s)22-4已知系统传递函数=，且初始条件为c)0(=−1，c&)0(=0，2R(s)

4、s+3s+2试求系统在输入r(t)=(1t)作用下的输出c(t)。解:系统的微分方程为2dc(t)dc(t)+3+2c(t)=2r(t)（1）2dtdt考虑初始条件，对式（1）进行拉氏变换，得22sC(s)+s+3sC(s)+3+2C(s)=（2）s2s+3s−2142C(s)=−=−+2s(s+3s+)2ss+1s+2−t−2t∴c(t)=1−4e+2e2-5由运算放大器组成的控制系统模拟电路如题2-5图所示，试求闭环传递函数Uo(s)/Ui(s)。题2-5图解：由题2-5图可得1R1CsUU1i0U=(−−)11RRR+001CsURR020=−⇒U=−U20URR202U12=

5、−⇒U=−RCsU1022URCs102联立上式消去中间变量U1和U2，整理可得URR012=−3UiR0(R1C1s+1)C2s+R1R202-6某位置随动系统原理框图题图2-6所示，已知电位器最大工作角度Q＝330，m功率放大器放大系数为k。3（1）分别求出电位器的传递函数k，第一级和第二级放大器的放大系数k，k；012（2）画出系统的结构图；（3）求系统的闭环传递函数Q(s)Q(s)。cr题2-6图解:(1)电位器的传递函数E30180K===0Qm3300×π11π0180根据运算放大器的特性，可分别写出两级放大器的放大系数为3330×1020×10K=−=−3，K=−=−2

6、132310×1010×10(2)可画出系统结构如题2-6解图所示：题2-6解图KKKKK0123mQ(s)s(Ts+)1cm(3)=Qr(s)1+K2K3KmKt+K0K1K2K3KmTs+1s(Ts+)1mm1=T1+KKKKm223mts+s+1KKKKKKKKKK0123m0123mU(s)c2-7求题2-7图所示各有源网络的传递函数。U(s)r题2-7图解：(a)根据运算放大器“虚地”概念，可写出U(s)Rc2=−U(s)Rr11R+2(b)U(s)Cs1(+RCs)(1+RCs)c21122=−=−U(s)1RCsrR⋅121Cs11R+1Cs11R⋅2Cs1R+U(s)

7、2CsRc2(c)=−=−U(s)RR1(+RCs)r112dhα12-8假设某容器的液位高度与液体流入量hQr满足方程+h=Qr，dtSS式中S为液位容器的横截面积，α为常数。若与hQ在其工作点(Q,h)附近做微量变rr00化，试导出Δh关于ΔQ的线性化方程。r解：将h在h处展开为泰勒级数并取一次近似0dh1h=h+

8、Δ⋅h=h+⋅Δh（1）0h00dt2h0代入原方程可得d(h0+Δh)α11+(h+⋅Δh)=(Q+ΔQ)（2）0r0rdtS2hS0在