柯西施瓦兹不等式探讨数学设计学位论文 .doc

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1、安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文柯西——施瓦兹不等式探讨摘要：柯西—施瓦兹不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式，解三角形相关问题，应用方面给出几个例子。近年来，许多学者在不同条件下提出柯西—施瓦兹不等式多种表现形式，并且对其性质及应用做了广泛而深入的研究，本文在已有的文献基础上，总结出了柯西—施瓦兹不等式4种表现形式及其在数学中的应用。本文的结论是对柯西—施瓦兹不等式理论的进一步深化，也是对现有文献中相应结论进行改善。关键词：柯西—施瓦兹不等式证明应用引言：柯西—施瓦兹不等式是一个非常

2、重要的不等式，在证明不等式、解三角形相关问题、数学分析中都有重要应用，本文在已有的文献基础上，总结了柯西—施瓦兹不等式4种表现形式，并且给出其一些应用性的例子。柯西（Cauchy）不等式在代数学中的表现形式等号当且仅当或时成立（k为常数，）现将它的证明介绍如下：证明1：（判别式法），关于小的二次三项式保持非负，故判别式，当且仅当即时等号成立证明2数学归纳法（1）当时左式=右式=显然左式=右式当时，右式右式仅当即即时等号成立故时不等式成立（2）假设时，不等式成立第10页共10页安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文即当，k为常数，或时等号成立设则当，k为

3、常数，或时等号成立即时不等式成立综合（1）（2）可知不等式成立；证明3（配方法）因故柯西不等式获证。等号当且仅当成立。柯西不等式在几何中表现形式柯西不等式的代数形式十分简单，但却非常重要。数学当中没有巧遇，凡是重要的结果都应该有一个解释，一旦掌握了它，就使这个结果变得不言而喻了。而一个代数结果最简单的解释，通常驻要借助于几何背景。现在就对柯西不等式的二维、三维情况做出几何解释。（1）二维形式第10页共10页安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文如图，可知线段，及的长度分别由下面的式子给出：表示与的夹角。由余弦定理，我们有将，，的值代入，化简得到而，故有

4、于是　　这就是柯西不等式的二维形式。我们可以看到当且仅当，即当且仅当是零或平角，亦即当且仅当在同一条直线上是时等号成立。在这种情形，斜率之间必定存在一个等式；换句话说，除非，我们们总有.（2）三维形式　　　对于三维情形，设是不同于原点的两个点，则与之间的夹角的余弦有第10页共10页安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文　　　　又由，得到柯西不等式的三维形式：　　　　当且仅当三点共线时，等号成立；此时只要这里的都不是零，就有柯西不等式的推广前面的柯西不等式都是限制在实数范围内的，在复数范围内同样也有柯西不等式成立。定理：若和是两个复数序列，则有　　　　　

5、　，当且仅当数列和成比例时等式成立。证明：设是复数，有恒等式若（其中），则有由此推出了复数形式的柯西不等式。除此之外，我们还可以知道一些与柯西不等式相关的结论。定理1：若和是实数列，且，则当时，这个不等式即为柯西不等式。　　定理2：若和是正数序列，且或第10页共10页安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文，则　　这个不等式实际上是Holder不等式的推论。对于柯西不等式，除了这种数列形式之外，还存在积分形式的柯西不等式即施瓦兹不等式。柯西不等式在分析中的表现形式即施瓦兹不等式定理：设和是在上的实可积函数，则　　　　　　当且仅当和是线性相关函数时等式成立

6、。证明1：对任意实数,　有　即　即证明2：将n等分，令，应用柯西不等式，令取极限，即证得。证明3：这就证明了施瓦兹不等式。由此可看出，如果连续，等号当且仅当存在（不全为零）使得时成立。第10页共10页安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文柯西不等式形式在概率中表现形式定理：对任意随机变量和都有　.等式成立当且仅当.这里是一个常数。证明：对任意实数，定义；显然对一切，，因此二次方程或者没有实数根或者有一个重根，所以，.此外，方程有一个重根存在的充要条件是.这时.因此，.有了这个结论，对于解决一些复杂的概率题时会有所帮助。1）证明不等式例1已知正数满足证明

7、证明：利用柯西不等式又因为在此不等式两边同乘以2，再加上得：故2）解三角形的相关问题例2设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，证明第10页共10页安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文证明：由柯西不等式得，记为的面积，则故不等式成立。3）用柯西不等式解释样本线性相关系数在《概率论与数理统计》〉一书中，在线性回归中，有样本相关系数，并指出且越接近于1，相关程度越大，越接近于0，则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。现记，，则，，由柯西不等式有，当时，此时，，为常数。点均在直线上，当时，即而第10页共10页安庆师范学院数学与计算科

8、学学院2010届毕业论文