函数一致连续性及其应用

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1、函数的一致连续性及其应用1函数一致连续性[1]设在定义在区间上的函数，若对任给，存在，使得对任意的、，只要，就有，则称函数在区间上一致连续.1.1函数一致连续的相关定理与证明定理1.1[2]若在区间上有定义，则在上一致连续的充要条件是.证明①必要性因为在区间上一致连续,所以由定义知，对任意的，，只要，就有,故可得出.因为当时，有.故可得.②充分性由于,所以，对任意的，只要，就有.故取，当，，时，可以得到,所以在区间上一致连续.定理1.2[2]函数在区间上一致连续的充要条件是在上任意两个数列，，只要使，就有证明①必要性因为在区间上一致连续,所以由定义知，对任意的，只要，就有.13函数的一

2、致连续性及其应用对于任意数列，，因为，故对上述有.故可得，即.②充分性（反证法）假设在区间上不一致连续，则存在某，对任意，都存在相应的两点，尽管，但有.令（n为正整数），相应的两点记为，尽管，但有.当n取遍所有正整数时，得数列与，且有但是,这与条件矛盾，所以假设不成立.因此可得在区间上一致连续.定理1.3[3]设函数在区间上可导，其导函数在区间上有界，则在上一致连续.证明因为在区间上有界，则有.对,,就有,所以在上一致连续.定理1.4[3]函数在区间上一致连续的充要条件是对任意给出的，使得当时恒有有.证明①必要性（反证法）函数在区间上一致连续,所以，对任意的，只要，就有即必有.取，当时

3、有.令，则存在使得.令，则.13函数的一致连续性及其应用不妨设,因为，且由连续函数的介值性知使得同理：使得.如此可得，规定且对每一个，.因为由一致连续的定义知,所以与条件矛盾，假设不成立.即使得当时恒有.②充分性使得当时恒有.取，若设必有即.故.故有只要，就有即在上一致连续.1.2有限区间上的函数一致连续性定理1.5[1]函数在上连续，则函数在上一致连续.证明（应用有限覆盖定理）由在上的连续性，任给，对，都存在，使得当时有.考虑开区间集合，显然H是的一个开覆盖。由有限覆盖定理，存在H的一个有限子集覆盖了.13函数的一致连续性及其应用记,对任意的，必须属于中某开区间.设即.此时有.故同时

4、有和.定理1.6[4]函数在内一致连续的充分必要条件是在连续，且与都存在.证明①必要性若在内一致连续，则对任给，存在，使得对任意的，，且，就有.此时对端点，当，满足时也有,于是.由柯西收敛准则知存在.同理可证也存在，从而在连续.②充分性因为在连续，且与都存在，补充定义，，所以在闭区间上连续.由定理1.5知在上一致连续，故在连续.推论函数在（或）内一致连续的充分必要条件是在（或）连续，且（或）存在.1.3无限区间上的函数一致连续性[5]定理1.7若函数在上连续，且，则函数在上一致连续.证明因为，则，，只要，就有.13函数的一致连续性及其应用又因为在连续，由定理3知在上一致连续.故对上述的

5、，，对，有.综上,在上一致连续.推论1在连续，且与存在，则函数在内一致连续.推论2在连续，且与存在，则函数在内一致连续.1.4函数一致连续性相关定理的应用例1.4.1[6]证明在区间上一致连续（M为任意整数），在上非一致连续.分析利用定义.证明，，使得，，有.在区间上一致连续（M为任意整数）.在上取两个数列,但是.在上非一致连续.例1.4.2[6]设，证明在上一致连续.分析利用定理1.1.证明对，有13函数的一致连续性及其应用所以在上一致连续.分析利用定理1.7.证明在上连续，且所以在上一致连续分析利用定理1.3.证明，且在上所以在上一致连续.例1.4.3[7]证明在上非一致连续。分析

6、利用定理1.2的逆否命题.证明在取两个数列但是所以由定理2知，在上非一致连续.例1.4.4设在上连续，且处处不为0，证明在上一致连续.分析利用闭区间连续函数的性质，同时掌握定理1.5和一致连续定义的灵活应用.13函数的一致连续性及其应用证明在上连续，则在上一致连续.故，对任意的，只要，就有.在上连续，所以使.因此，在上一致连续.1.5连续与一致连续的联系与区别设函数在某内有定义，若，则称在点连续。若函数在区间上的每一点都连续，则称为上的连续函数。即对，，只要就有.比较连续和一致连续的定义可知：前者的不仅与有关，且与点有关，即对于不同的，一般来说是不同的，这表明只要函数在区间内每一点都连

7、续，函数就在区间连续；后者的仅与有关，与无关，即对不同的，是相同的。这表明函数在区间的一致连续性，不仅要求函数在这个区间的每一点都连续，而且要求函数在区间上的连续是“一致”的(即连续可对一点来讲，而且对于某一点，取决于和，而一致连续必须以区间为对象，只取决于，与点的值无关).在区间一致连续的函数在这个区间一定是连续的，事实上，由一致连续性定义将固定，令变化，即知函数在连续，又是的任意一点，从而函数在连续。但在区间连续的函数在这区间上不一定一致连