高考中有关三角函数问题的研究

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1、一、引言三角学﹝Trigonometry﹞创始于公元前约150年，早在公元前300年，古代埃及人已有了一定的三角学知识，主要用于测量。例如建筑金字塔、整理尼罗河泛滥后的耕地、通商航海和观测天象等。公元前600年左右古希腊学者泰勒斯(p13)利用相似三角形的原理测出金字塔的高，成为西方三角测量的肇始。我国古代没有出现角的函数概念，只用勾股定理解决了一些三角学范围内的实际问题。据《周髀算经》记载，约与泰勒斯同时代的陈子已利用勾股定理测量太阳的高度，其方法后来称为「重差术」。现代高考中三角学主要研究角的三角函数的基本性质

2、及实际应用问题，如几何计算、最值、建模等实际问题。二、高考中三角函数的现状及简单分析近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.大致可分为四类问题：（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转

3、化。在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.（一）三角函数的现状1．课改后的三角函数尽管三角函数这部分内容是高中数学的传统内容，但在新教材中，教学内容、教材设计特别是教学要求上都发生了较大的变化。认识这一变化，对于我们领悟课标的理念，控制教学的深度、难度和广度有着至关重要的作用，只有准确地把握考纲要求，才能避免复习中做一些无用功。（1）进一步加强了几何直观。三角函数的概念、公式的推导及

4、其性质研究都紧密结合单位圆、三角函数线、三角函数的图象；-22-（2）加强了数学建模的思想。将三角函数作为刻画现实世界的数学模型，先呈现丰富的背景材料，再分析、概括、抽象，最后建立模型来解决问题；（3）强调信息技术的应用。新教材倡导借助计算器、计算机求三角函数值，求解测量问题，画三角函数图像，分析参数变化对函数的影响等等。把学生从烦琐的计算中解脱出来，并利用信息技术探索数学规律。（4）强调数学知识之间的内在联系以及数学与其它学科的联系。新教材进一步发挥向量的工具性作用，注重沟通代数、几何、三角的联系，充分体现了数形

5、结合思想。此外，还突出了三角与向量的物理背景及其在物理中的应用，体现了学科间的联系。2．考试大纲中考试要求的变化内容2006年考试大纲2007年考试大纲变化三角函数理解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算了解任意角的概念，了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化由理解变为了解，要求略有下降掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义由掌握变为理解，同时删去了余切、正割、余割的定义掌握正弦、余弦的诱导公式.了解周期函数与最小正周期的意义能利

6、用单位圆中的三角函数线推导出，±的正弦、余弦、正切的诱导公式，了解三角函数的周期性更加注重三角函数线及其公式的推导掌握同角三角函数的基本关系式理解同角三角函数的基本关系式：同角三角函数的基本关系式由三个减少为两个理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]的性质（如单调性、最大和最小值与轴交点等）.理解正切函数在区间（）的单调性对性质作了具体的界定，且限制在给定的区间-22-会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数的简图，理解A,ω,的物理意义画的图象，了解函数的物理意义；能

7、画出的图像，了解参数对函数图像变化的影响基本一致了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题新增内容，注重三角函数模型的应用三角恒等变换掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）强调公式的推导过程，淡化了

8、三角函数的化简、求值和恒等式证明.会由已知三角函数值求角，并会用、、表示已删除解三角形掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题、与测量和几何计算有关的实际问题特别指出解三角形的应用范畴（二）关注考纲和考试重点，提高复习效率1．紧扣大纲，把握高考命脉《考试大纲》是数学高考试题的主要命题依据，是高