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时间:2018-07-09
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1、简谐运动的对称性在高中物理模型中,有很多运动模型有对称性,如(类)竖直上抛运动的对称性,简谐运动中的对称性,电路中的对称性,带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动中几何关系的对称性.简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时,振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的(位移、回复力、加速度的方向相反,速度动量的方向不确定)。运动时间也具有对称性,即在平衡位置对称两段位移间运动的时间相等。(从某点到达最大位置和从最大位置再回到这一点所需要的时间相等、从某点向平衡位置运动的时间和它从平
2、衡位置运动到这一点的对称点所用的时间相等).理解好对称性这一点对解决有关问题很有帮助。下面我们分别从五个方面说明对称性在简谐运动中的应用:一、运动时间的对称性例1.如下图所示,一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动,若从O开始计时,经过3s质点第一次过M点;再继续运动,又经过2s它第二次经过M点;则该质点第三次经过M点所需要的时间是()A.8sB.4sC.14sD.【解析】设图中a、b两点为质点运动过程中的最大位移处,若开始计时时刻质点从O点向右运动,O→M运动过程历时3s,M→b→M过程历时2s,由运动时间
3、的对称性知:质点第三次经过M点所需时间:△,故C正确;若开始计时时刻质点从O点向左运动,O→a→O→M,运动过程历时3s,M→b→M过程历时2s,有:,质点第三次经过M点所需时间:△,故D正确,应选CD。二、速度的对称性例2.做简谐运动的弹簧振子,其质量为m,运动过程中的最大速率为v,从某一时刻算起,在半个周期内()A.弹力做的功一定为零B.弹力做的功可能是0到之间的某一值C.弹力的冲量一定为零D.弹力的冲量可能是0到2mv之间的某一值【解析】由速度的对称性知,无论从什么时刻开始计时,振子半个周期后的速度与
4、原来的速度大小相等,方向相反。由动能定理知,半个周期内弹力做的功为零,A正确;半个周期内振子速度变化量的最大值为2mv。由动量定理知,弹力的冲量为0到2mv之间的某一值,故D正确,应选AD。三、位移的对称性例3.一弹簧振子做简谐动动,周期为T,则下列说法中正确的是()A.若t时刻和(t+△t)时刻振子运动的位移大小相等、方向相同,则△t一定等于T的整数倍B.若T时刻和(t+△t)时刻振子运动的速度大小相等、方向相反,则△t一定等于T/2的整数倍C.若△t=T,则t时刻和(t+△t)时刻,振子运动的加速度一定
5、相等D.若△t=,则t时刻和(t+△t)时刻,弹簧的长度一定相等【解析】两时刻振子运动位移的大小相等、方向相同,说明振子位于同一位置,△t不定等于T的整数倍,A错;振子两次经过同一位置时的速度大小相等、方向相反,但△t不一定等于的整数倍,B错;在相隔一个周期T的两个时刻振子位于同一位置,振子运动的加速度一定相等,C正确;相隔△t=的两个时刻,振子位于对称位置,位移大小相等方向相反,这时弹簧的长度不同,D错,应选C。四、回复力的对称性例4.如下图在质量为M的支架上用一轻质弹簧挂有质量均为m(M≥m)的A、B两
6、物体,支架放在水平地面上,开始各物体都静止,突然剪断A、B间的连线,此后A做简谐运动,当A运动到最高点时,支架对地面的压力为()A.MgB.(M-m)gC.(M+m)gD.(M+2m)g【解析】剪断细线的瞬间,弹簧对A的弹力为kx=2mg,A受到向上的合外力为mg。当A运动到上方最大位移处,由简谐运动的回复力的对称性知,A将受到竖直向下的合外力,其大小仍为mg,此时弹簧中没有弹力,所以木箱对地面的压力大小为Mg。应选A。 例5.质量为M的框架,如图放置,用轻弹簧连接质量为m的A物体,A下面用细线吊一质量为
7、2m物体B,上端固定在框架上,剪断细线,在A运动的过程中,框架对地面的最小压力是多大?(M≥m)解答:剪断细线后,A将作简谐运动,设弹簧劲度系数为k,其平衡位置在自然长度下X0=mg/k时,刚开始,弹簧伸长X=3mg/k,故振幅为A=2mg/k,由对称性,在最高点,弹簧将压缩X’=mg/k,弹簧对框架的作用力的kX’=mg,向上,故框架对地面的最小压力为(M-m)g。例6.在水中有一木块A,其上置一质量为m物块B,当拿去B后,A恰能跳离水面,求A物体的质量。解答:拿走B后,A物体将作上下的简谐运动,刚开始,
8、A处于最低振幅位置,其回复力的大小应等于B物体的重力,向上。由于A恰能跳离水面,故最高点就是此位置,其回复力应等于A物体所受的重力,由于最高位置和最低位置的对称性,回复力应相等,故A物质量应等于B物的质量,∴MA=MB 例7.质量为m1、m2两物块间有一轻质弹簧如图所示放在水平地面上,在m1上加一竖直向下的外力F,撤去F后,m2恰能离开地面,求F的大小。解答:这一问题,用机械能守恒可解,但要用到弹性势能的公式,
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