第07讲 恒定电流的场(2)

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1、第07讲恒定电流的电场和磁场（2）本节内容：1，磁通连续性原理2，真空中的安培环路定律3，磁矢位4，磁偶极子上节回顾：线电流，面电流，体电流[例]一无限长直导线通过电流I，求空间任意一点的磁感应强度。xyz解：如图，导线沿z轴放置，则磁场与z无关，即任意点处的磁场与处相同。所以，，∴∴xyz[例]一通过电流I的环，半径为a，求其轴线上任意一点的磁感应强度。解：如图，导线环放置在xoy平面，中心位于原点。则，，，∴[例]宽度为2a的无限薄导体通过总电流I，电流在导体中沿纵向流动并在宽度方向均匀分布，求导体所在平面内距其中线d(d>a)处的磁感应强度。dxa-adxy

2、解法一：导体中的电流面密度为在导体上处取宽度为长度为的面元，则等效电流元为，解法二：利用例1的结果处宽为的无限长导体带可看作无限长线电流，电流为，由例1的结果，它在处产生的磁感应强度为[例3.2-4]一无限长螺线管半径为a，每单位度绕n匝线圈，导线中电流为I，求其轴线上任一点的磁感应强度。…………yxz解：根据例2的结果，在处取长度为的螺线管，它可看作半径为a，总电流为的圆环电流，它在z处产生的磁感应强度为所以一，磁通连续性原理磁感应强度在有向曲面上的通量简称为磁通量(或磁通)，单位是Wb(韦伯)，用Φ表示：如S是一个闭曲面，则下面从磁感应强度表达式出发讨论它穿过

3、任意封闭曲面的磁通量。以线电流的磁场为例，其中由矢量恒等式则有考虑到而梯度场是无旋的，以前就是矢量恒等式所以类似地，面电流和体电流的磁感应强度也满足上式，这说明任意磁场的磁感应强度穿过任意封闭曲面的磁通量恒等于0，这一性质称为为磁通连续性原理。根据散度定理，有由于区域V是任意的，所以在空间任意点都有这是磁通连续性原理的微分形式。说明恒定磁场是无源场（无散度源）。二，真空中的安培环路定律2.1安培环路定律磁力线必与电流相交链，无电流即无磁场。电流与磁场的关系究竟如何？这就是安培环路定律所要研究的内容。安培环路定律的表达式如下：其中是任一闭合有向路径，I是与路径相交链

4、的总电流（穿过以为边界的任意曲面的电流）当I的方向与的方向成右手螺旋关系时，I为正，反之为负。此定律不加证明。可通过一简单特例加以验证：无限长线电流的磁场，取为以电流线上一点为中心，在垂直于导线的平面内作一圆周：Irl由安培环路定律，对下图情况，应有：I4I3I1I2I5l当穿过积分回路的电流是几个电流时，可以将上式改写为一般形式：根据斯托克斯定理，可以导出安培回路定律的微分形式：由于因积分区域S是任意的，因而有上式是安培环路定律的微分形式，它说明磁场的涡旋源是电流。我们可用此式从磁场求电流分布。对于对称分布的电流，我们可以用安培环路定律的积分形式，从电流求出磁场

5、。2.2安培环路定律的应用与静电场中的高斯定理类似，对于某些特殊分布的电流，可用安培环路定律求磁感应强度。1º在闭合路径上的数值处处相等，的方向处处与平行2º在的一部分上满足1º，在另一部分上处处与垂直或则：或：例半径为a的无限长直导线，载有电流I，计算导体内、外的磁感应强度。解：在导线内电流均匀分布，导线外电流为零，当时，积分回路包围的电流为；当时，包围电流为。所以当时，当时三，磁矢位由可知，是管形场，而根据管形场的充要条件，必可表示为某矢量函数的旋度，即：其中称为矢量磁位或简称磁矢位。其单位是T·m(特斯拉·米)或Wb/m(韦伯/米)。矢量磁位是一个辅助量上式

6、仅仅规定了磁矢位的旋度，而的散度可以任意假定。因为若，另一矢量，其中是一个任意标量函数，则均有相同的旋度，但是其散度不相同。指定一个磁矢位的散度称为一种规范，在恒定磁场中，指定，比较方便，成为库仑规范。后面的内容还有罗伦兹规范，在后面的内容介绍。使用矢量恒等式由于带入库伦规范上式是磁矢位满足的微分方程，称为磁矢位的泊松方程。对无源区(J=0)，磁矢位满足矢量拉普拉斯方程，即为矢量拉普拉斯算子，在任意坐标系下，展开比较复杂，在直角坐标系下可以表示为：从而可以得到其分量形式：与静电场的泊松方程对比，可以得到磁矢位解：从线电流、面电流以及体电流磁感应强度的表达式，也可以

7、推出，它们相应的磁矢位表达式：因为只与源点坐标有关，上式第二项为0，故类似地，面电流和体电流的磁感应强度可表示为可以看出，相应的磁矢位分别为：线电流：面电流：体电流：有时先根据电流分布计算出磁矢位，再由求是方便的。磁通的计算也可以通过磁矢位表示：其中C为曲面S的边界。例求长度为l的载流直导线的磁矢位。当l>>z时，有上式中，若再取l>>r,则有例用磁矢位重新计算载流直导线的磁场。解：从电流分布可以知道磁矢位仅仅有z分量，而且它只是坐标r的函数，即设在导线内磁位是A1,导线外磁位是A2ra时，可以求出导线内、外的磁场分别为导体外部的磁感应强度为四、磁偶极

8、子尺寸很小