模型之二：复利计算的数学模型

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1、模型之二：复利计算的数学模型一、单利和复利单利在贷款过程中，本期利息不转入下期本金的计算利息方法称为单利法。利息与本金之比称为利率。以表示本金，表示利息，利率记为，则有。若贷款时间为期，则单利计算公式为：〔例1〕50000元存了5个月得利息1400元，单利计算，求月利率。解已知,,。从上式解出，得即月利率为5厘6。复利在贷款一期之末结息一次，并将利息转入本金，即该利息与本金一起作为下一期本金产生利息，这种计息方法称为复利。记本利和为，。第2期末的本利和为，第3期末的本利和为：，……，第期末的本利和为：。贷款期的利息为：。〔例2〕

2、若本金为700元，年利率为10％，复利计算。为得本利和1240元，求存期。10解在等式两边取常用对数得，已知,,,从上式解出,得　　年，即为得本利和1240元，需存6年。二、货币的时间价值（现值和终值）货币用来投资，随着时间的推移会产生收益，从而使货币增值，这就是货币的时间价值。由于银行利率由经济发展的各种因素综合确定，因此，通常用银行利率来计算货币的时间价值。终值和现值是刻画货币时间价值的两个概念。在复利计算公式中，称为期末的终值，表示现在的元到期末将变为元。反过来，期末的元相等于现在的元，和的关系为。称为的现值。〔例3〕公司

3、欲进行厂房投资，厂房价格为万元。据预测，厂房3年后的价格将为27万元，银行年利率为，试问此项投资是否合算。解法一　计算3年后万元的现值，，，即现值低于投资，投资不合算。　　解法二计算3年后的终值。万元，即存银行收益率超过房屋投资的收益，该房屋投资是不可行的。两种解法的结论一致。三、周期支付和偿还问题10按终值计算法：设在每期初支付（或偿还）的金额为一固定数，每期的利率为，记第期末时总共支付（或偿还）的总金额的终值为，则有：利用等比级数求和公式，。若支付（或偿还）发生在每期的期末，记第期末时总共支付（或偿还）的总金额的终值为。因为

4、每期的支付（或偿还）都要少记一期的利息，应有，利用等比级数求和公式，。按现值计算法：由于在第期末数量为的货币相当于现值为的货币，把上述相应的终值公式改变后可以得到相应的现值公式。在每期初支付（或偿还）金额为一固定数，到第期末时总共支付（或偿还）的总金额的现值记为，则有。在每期末支付（或偿还）金额为一固定数，到期期末时总共支付（或偿还）的总金额的现值记为，则有。〔例4〕商店用分期付款的方式吸引顾客购买电视机。一种售价为3000元的电视机，若购买时首次付500元，以后每隔一个月付款一次，每次付款数一样，一年内付清全部款项，每月应定为

5、付款多少？银行贷款月利率为1.2设为不变。10分析和求解分析首次付款后的12次付款可以看作发生在期末、付款数相同的12次周期付款。支付的总金额的现值应该等于首次支付后的货款余额。求解按上述公式计算，应有。解得，即每月应支付225元。〔例5〕诺贝尔奖金金额A诺贝尔（AlfredBernhardNobel－(1833－1896)）把他留下的大部分财产投资于安全证券构成基金，其利息以奖金方式奖给对人类作出了最有益贡献的人。现在诺贝尔奖分为6项：物理学、化学、文学、经济学、生理学和医学以及和平奖。诺贝尔留作基金的总额为850万美元，随着

6、物价的上涨，颁发给受奖人的奖金金额正逐步提高。1998年诺贝尔奖每项奖金金额为98.7万美元。问诺贝尔奖基金的利率是多少？分析和求解分析诺贝尔基金会开始时的投资总额为850万美元，为了增加资金总额应以复利形式投资，才能支付日益增加的奖金金额。为了简化问题，作以下假设：假设一每年平均复利率不变为。假设二每年发放奖金的总额是该年所获利息的一半，另一半利息用于增加基金资金总额。假设三1896年记作0年，1897年起作为奖金颁发的第一年，以后每年颁发奖金一次。由假设三，1998年为第102年。建立模型设表示第年资金的总额。第年的本金和按

7、利率计算应为，其中利息的一半作为第年颁发的奖金，余下的总金额归入第年的基金总额，因而得10由1998年的奖金数，得。求解可通过叠代法解。有我们用编写下面Matlab程序来求方程的根。方法一：用for循环（缺点是循环次数自己要先估计）clearformatshortyy(1)=0.95fori=1:50z=log(1.3934/yy(i))/102;yy(i+1)=2*(exp(z)-1);10ifabs(yy(i+1)-yy(i))<0.000001yyy=yy(i+1);breakendendyyy方法二：用while循环（缺

8、点是程序相对要复杂一些）clearformatshorti=1;yy(i)=0.95z=log(1.3934/yy(i))/102;yy(i+1)=2*(exp(z)-1);whileabs(yy(i+1)-yy(i))>=0.000001i=i+1;z=log