用二分法求方程的近似解

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1、用二分法求方程的近似解【教学难点】恰当地使用信息技术工具,利用二分法求给定精确度的方程的近似解.【教学重点】通过用二分法求方程的近似解,体会函数的零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识．【教学目标】通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件;能借助计算器用二分法求方程的近似解,并了解这一数学思想,为学习算法做准备;体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一.教学程序与环节设计：创设情境组织探究探索发现尝试练习作业回馈课外活动由二分查找及高次多项式方程的求根问题引入二分法的意义、算法思想及方法步骤体会函数零

2、点的意义，明确二分法的适用范围二分法的算法思想及方法步骤，初步应用二分法解决简单问题二分法应用于实际二分法为什么可以逼近零点的再分析追寻阿贝尔和伽罗瓦创设情境－材料一：1.(第六届全国青少年信息学(计算机)奥林匹克分区联赛提高组初赛试题第15题）某数列有1000个各不相同的单元，由低至高按序排列;现要对该数列进行二分法检索(binary-search),在最坏的情况下,需检索()个单元.Ａ．1000Ｂ．10Ｃ．100Ｄ．500高次多项式方程公式解的探索史料由于实际问题的需要,我们经常需要寻求函数的零点(即的根),对于为一

3、次或二次函数,我们有熟知的公式解法(二次时,称为求根公式).在十六世纪,已找到了三次和四次函数的求根公式,但对于高于4次的函数,类似的努力却一直没有成功,到了十九世纪,根据阿贝尔(Abel)和伽罗瓦(Galois)的研究,人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式,亦即,不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解.同时,即使对于3次和4次的代数方程,其公式解的表示也相当复杂,一般来讲并不适宜作具体计算.因此对于高次多项式函数及其它的一些函数,有必要寻求其零点的近似解的方法,这是一个在计算数学中十分重要的课题．创设情境－材料

4、二：1.函数的零点2.方程的根与函数零点的关系对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数根叫做函数y=f(x)的零点.(zeropoint).函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点复习回顾如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·.f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)

5、=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.3.函数零点的存在性的判定方法xyoab例1.求函数f(x)=x3-3x2+2x-6在区间[0,4]内的变号零点.解:f(0)=-6<0,f(4)=18>0.端点(中点)坐标中点的函数值取区间[0,4][2,4]X1=(0+4)/2=2X2=(2+4)/2=3f(x1)=f(2)=-6<0f(x2)=f(3)=0由上式计算可知,x2=3就是所求函数的一个零点.组织探究（1）xyo【例2】借助计算器或计算机用二分法求方程x2-2x-1=0的近似解(精确到0.1).你能把此方程的根限制

6、在更小的区间内吗？组织探究（2）xyo【例2】求出方程x2-2x-1=0的一个近似解(精确到0.1).解:由于f(2)=-1<0,f(3)=2>0,可以取区间[2,3]作为计算的初始区间.端点(中点)坐标中点的函数值取区间区间长度[1,2][1,1.5][1.25,1.5][1.375,1.5]10.50.250.125X1=(1+2)/2=1.5X2=1.25X3=1.375X4=1.438f(x1)=0.625>0f(x2)<0f(x3)<0【例2】求出方程x2-2x-1=0的一个近似解(精确到0.1).由上表的计算

7、可知,区间[2.375,2.4375]的长度小于0.1,所以这个区间的中点x3=2.4063可作为所求函数误差不超过0.1的一个正实数零点的近似值.用二分法求函数变号零点的一般步骤:1.勘根定理,求出初始区间2.进行计算,确定下一区间3.循环进行,达到精确要求2.二分法：对于在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）.3.给定精确度ε,用二分法求函数f(x)

8、零点近似值的步骤如下:1.确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0,给定精确度ε;2.求区间(a,b)的中点x1;3.计算f(x1);(1)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;(2)若f(a)f(x1)<0,则令b=x1(此时零x0(a,x1));(3)若f(x1)f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0