第3章 机械能和功

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1、第3章机械能和功一、功1、功能的定义式：恒力的功：变力的功：2、保守力若某力所作的功仅取决于始末位置而与经历的路径无关，则该力称保守力。或满足下述关系的力称保守力：       3、几种常见的保守力的功：（1）重力的功：（2）万有引力的功：（3）弹性力的功：4、功率  二、势能保守力的功只取决于相对位置的改变而与路径无关。由相对位置决定系统所具有的能量称之为势能。1、常见的势能有（1）重力势能 （2）万有引力势能 （3）弹性势能 2、势能与保守力的关系（1）保守力的功等于势能的减少 （2）保守力为势能函数的梯度负值。 （3）势能曲线   势能曲线能很直观地表述一维运动的

2、主要特征，如运动范围，平衡位置，保守力随位置的变化情况，动能与势能的相互转换等。三、动能定理、功能原理、机械能守恒定律   功可分为：外力的功、保守内力的功、和非保守内力的功1、 质点动能定理：2、质点系动能定理：3、功能原理：4、机械能守恒定律：，时，第3章机械能和功【例3-1】已知三种力如下：；；。式中、为x、y方向的单位矢量，为速度方向的单位矢量，、K为常数。（1）分别计算这三种力沿任意路径所作的功；（2）判断哪是保守力，哪是非保守力；     【解】（1）根据题意及功的定义，处理、力作功取直角坐标，处理力作功取自然坐标，原点选在运动的开始点，则：（2）根据保守力

3、的定义：          （s为闭合路径的长度）    因此、为保守力，为非保守力。【例3-2】轻弹簧AB的上端A固定，下端B悬挂质量为的重物。已知弹簧原长，劲度系数为，重物在O点达到平衡，此时弹簧伸长了，如图所示。取轴向下为正，且坐标原点位于：（1）弹簧原长位置；（2）力的平衡位置。若取原点为重力势能和弹性势能的势能零点，试分别计算重物在任一位置时系统的总势能。【解】（1）以弹簧原长点为坐标原点，系统总势能      （2）若以重力与弹性力合力的平衡位置为原点，则有             任意位置x处的系统总势能：      由此可知，以重力和弹性力合力的平衡位置

4、为原点为势能的零点，它的总势能与只有弹性势能的是等效的。这样势能零点的选取，应用在实际问题中就方便多了。   这一结果还可以从另一方面来理解，重力和弹性力都是保守力，它的合力F也应是保守力，现取重力和弹性力的平衡位置为坐标原点，则合力的大小   与单纯只有弹性力一样，因为它的总势能就应    【例3-3】双原子分子的势函数可表示为：式中a、b为正常数，这势函数曲线可如题图3-3a所示，如果双原子分子的总能量为零。求：（1）双原子之间的最小距离；  （2）双原子之间平衡位置的距离；  （3）双原子之间最大引力时的两原子距离；  （4）势阱深度Ed:  （5）画出与势能曲线

5、相应的原子之间的相互作用力曲线。【解】（1）由题意双原子的总能量为零，即           当动能时，为最大，两原子之间有最小距离                   解得：  （2）平衡位置的条件为F=0。       又有势函数与两原子相互作用力的关系：                    可得：  （3）最大引力的条件为：        即：                  此时两原子相距：（4）将平衡位置两原子之间的距离代入势函数公式，可得势阱深度：        （5）分子之间相互作用的势能曲线可用题图3-3a表示，由保守力与势能系数的关系：      

6、可知，势能曲线斜率的负值应为保守力的大小。势能曲线上极小植的位置处应有：      也就是在位置处，保守力F为零。   在势能曲线的拐点位置处应有：         也就是保守力F的最小值的位置，由此可画出图3-3b的分子间相互作用力随位置的关系曲线的大致情况了【例3-4】在密度为的液面上方，悬挂一根长为，密度为的均匀棒AB，棒的B端刚和液面接触如题图3-4a，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重力作用下运动，在的条件下，求细棒下落过程中的最大速度，以及细棒能潜入液体的最大深度H。       【解】现在只要求某一状态的情况，采用功能原理解题比较方便。先求棒B端沉入液面处浮力

7、F所作的功（设棒的横截面积为s）：时：重力所作的功：由动能定理得：            （1）要求细棒下沉最大的速度也是相当于求细棒动能的最大值，我们将上式对求导，并使等于零。                              （2）解得 时细棒有最大动能。将此式代入（1）式可得细棒最大速度。      即：   得：（2）式告诉我们，当细棒的重力等于浮力时，棒在处已达到最大速度了，当细棒继续下沉时，向上的浮力大于重力，速度将不断变小，当棒沉到最深位置H处，棒的速度为零，也就是重力所作的功与浮力所作的功正好抵消的位置，我们可以列