“真探究”还是“假探究”

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1、“真探究”还是“假探究”浙江省绍兴县实验中学钱国苗在华师大七年级上册进行期未复习时，遇到了这么一题：在数轴上表示-1和7的点之间插入两个点，使相邻两点距离相等，则此两点所表示的数的和是。考虑到学生对数轴上数形结合的思想不太熟悉，我让学生动手画一画，实际探一探，再作回答。几分钟后，学生纷纷举手作答。我便让其中的一位同学上来讲解具体的过程：如图1，因为AB=8而且相邻两点的距离相等，所以AC=CD=DB=，所以C点的坐标=，D点的坐标=，所以此两点所表示的数的和=。大多数同学都是这样解答的，与我课前预料的一样。这时，一个基础不是很好的同学高高地举起了手，“老

2、师，我还有别的方法，我的答案也是6，我是把-1和7相加得到6”。我当时愣了一下，不知到他这个答案从何而来，于是急忙追问：“你是怎么想到的？”他的回答更让我吃惊，“我是猜的”。虽然没有具体的过程，但结果却不谋而合，我想这里边肯定有问题，考虑到下课时间快到了，我让大家课后以学习小组为单位再作进一步的研究，看谁能解开这个结。第二天的课，大家都是有备而来。甲组说：我们把题目中‘中间插入两个点’改为‘中间插入四个点’，且每两个点之间的距离相等，则此四个点所表示的数的和是12，恰好是6的两倍。具体过程如下：如图2，因为AB=8而且相邻两点的距离相等，所以AC=CD=

3、DE=EF=FB=，所以C点的坐标=，D点的坐标=，E点的坐标=，F点的坐标=,所以此四个点所表示的数的和=12。如果把题目中‘中间插入两个点’改为‘中间插入六个点’，且每两个点之间的距离相等，同理可得此六个点所表示的数的和是18，恰好是6的三倍。于是我们猜想当中间插入2n个点，且每两个点之间的距离相等，那么此2n个点所表示的数的和将是6n，是6的n倍。乙组说：我们考虑了把题目中‘中间插入两个点’改为‘中间插入三个点’，且每两个点之间的距离相等，如图3所示，插入的3个点把线段AB均匀地分成四段，每段为2，可求得C点的坐标为1，D点的坐标为3，E点的坐标为

4、5，则此三个点所表示的数的和是9。若中间插入的点改为5个，且每两个点之间的距离相等，如图4，那么这5个点所表示的数之和为15。若中间插入的点改为1个，且到A、B两点距离相等，如图5，可求得这个点所表示的数为3。从求解过程中我们还得到：当满足题意的点为1个时，这个点所表示的数就是3。当满足题意的点为3个时，这3个点所表示的数之和为9，恰好为3的3倍。当满足题意的点为5个时，这5个点所表示的数之和为15，恰好为3的5倍。……当满足题意的点为n个时，这n个点所表示的数之和应该为3的n倍，和将为3n。丙组说：乙组同学得到的结论有问题，当n取奇数时成立，当n取偶数

5、时是否也成立？其实从上面大家的探究过程中有：当n等于2时，这2个点所表示的数之和为6，是3的2倍。当n等于4时，这4个点所表示的数之和为12，是3的4倍。当n等于6时，这6个点所表示的数之和为18，是3的6倍。……由此可得，不论n取奇数还是偶数，都有：在AB之间插入n个点，这n个点所表示的数之和为3n。丁组说：我们在探求中间插入一个点时（见图5），发现C点恰好为线段AB的中点，并且A、B两点的坐标和刚好是C点坐标的两倍；当中间插入三个点时（见图3），也有这样的情况，A、B两点的坐标和刚好是中点D点坐标的两倍，C、E两点的坐标和刚好是中点D点坐标的两倍。这

6、不是巧合，而是插入点为奇数时的普遍规律。丁组的发言让听者都有同感，我想该是揭开谜底的时候了，于是在大家有了深刻认识的基础上，我用中点公式分插入奇数个点和偶数个点两种情况作了说明，学生很快就掌握了。这节课上完后，我有一种淋漓尽致的感觉，我不断地问自己，要是我一开始就用中点公式向学生讲这个问题，学生会接受吗？学生会理解得如此深刻吗？那么这种水到渠成的火候又来自哪里呢？美国著名科学家、芝加哥大学的施瓦布（J.J.Schwab）教授提出“探究性学习”的理论，他认为：学生学习的过程与科学家的研究过程在本质上是一致的，因此学生应像“小科学家”一样，以小主人公的身份去

7、发现问题、解决问题，并在探究过程中获取知识、发展技能、培养能力，特别是培养创造能力，发展自己的个性。由此看来“会教”不如“会学”。从此，我把课堂真正地还给了学生，我积极鼓励学生大胆质疑，提倡学生发表不同的观点与见解，保护学生的好奇心和求知欲，加倍呵护学生在数学课中的奇思妙想，提倡数学教学中的发散思维和集中思维，使课堂成为学生自由表达思想的最好场所。在我的课堂上学生听不到指责声，学生没有压抑感，唯有这样才能充分调动他们探究兴趣。同时我还经常搭建学生展示成果的平台，让想说的学生真正做到有话可说。 心理学研究表明：人人都有成就感。青少年学生更是如此，他们有自我

8、表现欲，希望得到老师和同学的认可，以获得成功的情感体验。正确引导这种心理能激发学