2011年全国初中数学联合竞赛

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1、2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案说明：评阅试卷时，请依据本评分标准：选择题和填空题只设7分和0分两档；其余各题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1、B凸多边形的每一个外角都等于30°,则n=12,这个凸多边形所有对角线的条数总共有2、DAB=AO=BO=BE3、A故4、C设，讨论当，得出当x=3时y的最小值为4.5、B如图，当选定一个面的一条对角线后，对应了两个“不规则三

2、角形”，而每个面有2条，一共有8个面，故有2×2×8=246、A二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、12、03、4、1三、解答题（本题共三小题，第1题20分，第2、3题各25分）1、（本题满分20分）已知是关于的一元二次方程的两个实数根，使得成立。求实数的所有可能值。`解：由条件知，解得或．（5分）又由根与系数的关系知，，于是，（10分）由，解得（舍去）或．（15分）于是．综上所述，所求的实数．（20分）2、（本题满分25分）抛物线的图象与轴有两个交点，且经过点，其中．过点的直线与轴交于点，与抛物线交于点（异于点），满足是等腰直角三角形，且．求该抛物

3、线的解析式．解：由条件知该抛物线开口向上，与的两个交点在轴的右侧．由于是等腰直角三角形，故点在轴的左侧，且．故，从而，．（5分）于是直线的方程为：．设，由知，（10分）从而，即．（15分）综上可知，该抛物线通过点，，．于是，（20分）解得．所以所求抛物线的解析式为．（25分）3、（本题满分25分）如图，、分别是（其中）的角平分线、高线，是的中点．的外接圆交于．求证：．证明：如图，连结,∵是斜边的中点∴（5分）∴∵四点共圆∴∴∴（10分）∵,∴∽∴,即（15分）∴,又∵∴∽,∴（20分）∴∴四点共圆，∴.（25分）