解直角三角形及其应用

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1、解直角三角形及其应用◆课前热身EABCD150°图1h1.图1是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）A．mB．4mC．mD．8m2.如图2,长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A.B.C.10D.图2α5米AB图33.如图3，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A.B.　

2、C.D.4.BCA图4如图4，在中，90°，，，则下列结论正确的是（）A．　　　　　B．　C．　　　　D．5.如图5，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（）A．5mB．6mC．7mD．8m【参考答案】1.B【解析】过点B作直线AB的垂线，，垂足为E，在Rt△BCE中，sin∠CBE=，即sin30°=，所以h=4m.【点评】作垂线构造直角三角形，因为知道斜边长，所以利用已知锐角的正弦关系解答即可.本题还可以利用“直角三角形中，30°所对的直角边

3、等于斜边的一半”来求解.2.B【解析】根据“两点之间，线段最短”和“勾股定理”蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，较短爬行路线有以下4条（红色线段表示）.计算可知最短的是第2条.【点评】在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形转化为平面图形（即表面展开图）来解答，但是不同的展开图会有不同的答案，所以要分情况讨论.3.B【解析】利用锐角三角函数解答，在以AB为斜边的直角三角形中，cos，所以AB=.【点评】在直角三角形中，根据已知边、角和要求的边、角确定函数关系.4.D【解析】此题考查了特殊角的三角函数值.由已知可知∠A=30°，∠B=60°

4、，对照30°、60°的三角函数值选择正确答案.【点评】熟记特殊角30°、45°、60°的三角函数值是解题的关键.本题也可以通过勾股定理计算出AC，然后根据锐角三角函数定义判断.5.A【解析】考查了勾股定理和坡度的定义.坡度即坡比是铅直高度与水平宽度的比，在这里设铅直高度为h米，则有h:4=0.75，h=3，利用勾股定理得相邻两树间的坡面距离为=5m.【点评】在理解坡度、坡面距离、水平距离等概念的基础上，通过直角三角形的知识来解答.◆考点聚焦1．掌握并灵活应用各种关系解直角三角形，这是本节重点．2．了解测量中的概念，并能灵活应用相关知识解决某些实际

5、问题，而在将实际问题转化为直角三角形问题时，怎样合理构造直角三角形以及如何正确选用直角三角形的边角关系是本节难点，也是中考的热点．◆备考兵法正确地建立解直角三角形的数学模型以及熟悉测量，航海，航空，工程等实际问题中的常用概念是解决这类问题的关键．注意：（1）准确理解几个概念：①仰角，俯角；②坡角；③坡度；④方位角．（2）将实际问题抽象为数学问题的关键是画出符合题意的图形．（3）在一些问题中要根据需要添加辅助线，构造出直角三角形，从而转化为解直角三角形的问题．◆考点链接1．解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些_____________叫做解直

6、角三角形．2．解直角三角形的类型：已知____________；已知___________________．3．如图（1）解直角三角形的公式：（1）三边关系：__________________．（2）角关系：∠A+∠B＝_____，（3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______．cosB=____，tanA=_____，tanB=_____．4．如图（2）仰角是____________,俯角是____________．5．如图（3）方向角：OA：_____，OB：_______，OC：_______，OD：___

7、_____．6．如图（4）坡度：AB的坡度iAB＝_______，∠α叫_____，tanα＝i＝____．OABC（图2）（图3）（图4）◆典例精析例1（安徽省）长为m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整成60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了______m．【答案】（约0.64）.【解析】涉及知识点有锐角三角函数的应用.4m的梯子、地面和墙高构成了直角三角形，当梯子搭在墙上与地面成45°的角时，梯子的顶端到地面的距离是4×sin45°=2，当梯子搭在墙上与地面成60°的角时，梯子的顶端到地面的距离是4×sin60°=2.则梯子的

8、顶端沿墙面升高了（约0.64）m．【点评】把立体图形转化为平面图形即直角三角形，利用锐角三角函数或勾股定理解答即可.例2（山东临沂）如图