2011全国初中数学联赛(浙江赛区)

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1、2011年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知，，则的值为（）A．1.B．.C．.D．.2．已知△的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（）A．5.B．6.C．7.D．8.3．方程的解的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个.4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有（）A．5组.B．7组.C．9组.D．11组.5．如图，菱形ABCD中，，，，，，则（）A．.

2、B．.C．.D．.6．已知，，，则的值为（）A．1.B．.C．2.D．.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．在△ABC中，已知，，则．2．二次函数的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则．3．能使是完全平方数的正整数n的值为．4．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F，如果，，D为EF的中点，则AB＝．第二试（A）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一

3、个相同的实根．求的值．二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知，，，对角线交于点，且，为的中点．求证：（1）；（2）．三．（本题满分25分）已知为正整数，．设，，，O为坐标原点．若，且．（1）证明：；（2）求图象经过三点的二次函数的解析式．第一试答案：选择题：1.B2.B3.C4.C5.D6.C填空题：1.2.23.114.24第二试答案：一：解依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设是方程①和方程②的一个相同的实根，则两式相减，可解得．设是方程③和方程④的一个相同的实根，则两式相减，可解得。所以．又方程①的两根之积等于1，于是

4、也是方程①的根，则。又，两式相减，得．若，则方程①无实根，所以，故．于是．又，解得．二：证明（1）由已知得，从而四点共圆，为直径，为该圆的圆心．作于点，知为的中点，所以＝＝，从而．（2）作于点，则．又，∴，∴Rt△≌Rt△，∴，又，所以，故，所以．三．解（1）因为，，所以，即．由，得．又，从而有，即．（2）由，知是关于x的一元二次方程①的两个不相等的正整数根，从而，解得。又为正整数，故或．当时，方程①为，没有整数解．当时，方程①为，两根为．综合知：．设图象经过三点的二次函数的解析式为，将点的坐标代入得，解得．所以，图象经过三点的二次函数的解析式为．