数学建模习题--第五章

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1、习题1、对于5.1节传染病的SIR模型证明；①若，则先增加，在处达到最大，然后减少并趋于零；单调减少至。②若，则单调减少并趋于零，单调减少至。2、对于传染病的SIR模型证明(20)~(22)式。3、在5.2节经济增长模型中，为了适用于不同的对象可将产量函数折算成现金，仍用表示。考虑到物价上升因素我们记物价上升指数为(设)。则产品的表面价值、实际价值和物价指数之间满足。①导出、、的相对增长率之间的关系，并作解释。②设雇佣工人数目为，每个工人工资为，企业的利润简化为从产品的收入中扣除工人的工资和固定的成本。利用5.2节的（5）

2、式讨论，企业应雇佣多少工人能使利润最大。4、在5.4节的房室模型中证明方程（3）对应的齐次方程通解如（4）、（5）式所示，说明方程的两个特征根和一定是负实根。5、模仿5.4节建立的二室模型建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，并画出浓度曲线图。6、利用上题建立的一室模型，讨论按固定时间间隔每次给予固定剂量的多次重复给药方式。为了维持药品的疗效和保证机体的安全，要求血药浓度控制在（）范围内。设中心室容积为已知。①在快速静脉注射的多次重复给药方式下，写

3、出血药浓度表达式并作图，讨论怎样确定和使血药浓度的变化满足上述要求。②在恒速静脉滴注和口服（或肌肉注射）的多次重复给药方式下，给出血药浓度变化的简图，并在这两种方式选择一种来讨论确定和的问题。7、在5.5节香烟过滤嘴模型中，①设毫克，毫米，毫米，（1/秒），（1/秒），毫米/秒，，求和。②若有一支不带过滤嘴的香烟，参数同上。比较全部吸完和只吸到处的情况下，进入人体毒物量的区别。8、在5.6节水电站调压塔模型中，设调压塔出口水流速度在稳定值附近有一阶跃变化，即利用方程（8）讨论调压塔水位在稳定值附近的变化过程。9、在5.7节

4、人口的预测和控制模型中，总和生育率和生育模式是两种控制人口增长的手段。试说明我国目前的人口政策，如提倡一对夫妇只生一个孩子，晚婚晚育，及生第2胎的一些规定，怎样通过这两种控制手段加以实施。10、在5.8节连续交通流模型中，考察在内公路段的流量和密度的变化，直接导出交通流方程（5）。11、在5.8节红绿灯模型中，讨论初始密度是拥挤流即时密度函数的变化（类似于图5-23对于稀疏流的分析，画出分阶段的示意图，求出“追上车队”和“堵塞消失”的时刻，分析间断点的变化规律等）。12、证明红绿灯模型中左右间断线和当足够大后以相同速度向前

5、移动。13、讨论绿灯模型。设初始密度（）为①画出时的示意图。②证明（）时位于处的车辆通过的时刻为。③证明内通过的车辆数为。14、将5.10节得到的万有引力定律（18）式与熟知的形式（19）进行比较。查询太阳质量、地球运行轨道（椭圆）的长半轴、引力常数等数据，说明二者是一致的。*15.对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型。①推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与已采用新技术的人数成正比，推广是无限的。②总人数有限，因而推广速度随着尚未采用新技术人数的减少而降低，③在②的前提下还要考虑广告等媒介的传播作用。

6、*16.建立耐用消费品市场销售量的模型。如果知道了过去若干时期销售量的情况，如何确定模型的参数。*17、根据经验当一种新商品设入市场后，随着人们对它的拥有量的增加，其销售量的下降速度与成正比。广告宣传可给销量添加一个增长速度，它与广告费成正比，但广告只能影响这种商品在市场上尚未饱和的部分（设饱和量为）。建立销量的模型。若广告宣传只进行有限时间，且广告费为常数，问如何变化。*18.人工肾是帮助人体从血液中带走废物的装置。它通过一层薄膜与需要带走废物的血管相通（见图5-26）。人工肾中通以某种液体，其流动方向与血液在血管中的流

7、动方向相反，血液中的废物透过薄膜进入人工肾。设血液和人工肾中液体的流速均为常数，废物进入人工肾的数量与它在这两种液体中的浓度差成正比。人工肾总长。建立单位时间内人工肾带走废物数量的模型。*19.在鱼塘中投放尾鱼苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的重量将增加。①设尾数的相对减少率为常数；由于喂养引起的每尾鱼量的增加率与鱼表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼量的减少率与鱼重量成正比。分别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解。②用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相对减少量表示，记作，即单位时间捕获量是。

8、问如何选择和，使从开始的捕获量最大。*20.侦察机搜索潜艇。设时艇在点，飞机在点，海里（见图5-27）。此时艇潜入水中并沿着飞机不知道的某一方向以直线形式逃去，艇速20海里/时，飞机以速度40海里/时按照待定的航线搜索潜艇，当且仅当飞到艇的正上方时才可发现它。①在极坐标系中设时刻飞机在（），艇在（）。证