浅谈现代数学思想中公理化思想在中学数学中应用

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1、浅谈现代数学思想中公理化思想在中学数学中应用摘要:本文为了研究现代数学思想在中学数学中的应用,其中公理化演绎思想在现代数学中占有统治地位,对现代教育的发展也起着重要的作用,为此,研究了公理化思想在中学数学中的应用的问题。文章首先现代数学思想的起源,继而讨论中学数学中几种常用的数学思想集合思想,方程与函数的对应思想,划归思想,随机思想,极限思想,数学模型思想,讨论这些模型是否属于公理化思想。从而得到了现代数学思想在中学数学的重要地位,及现代数学思想的渗透能更好的帮助学生提高数学能力。关键词:现代数学

2、思想公理化思想中学数学引言研究内容:现代数学思想简述,公理化演绎推理公理化在中学数学中的应用一、现代数学思想简述当今的时代是科学飞速发展,新技术迅猛增长的时代,是知识爆炸,信息高速发达的时代。现代社会的发展对人才智能提出了更高的要求,也引起了数学教学的任务和性质的根本变革。当前,更新旧的教学观念和教学思想,改进旧的教学方法,促进数学的学习和人才的成长已成为数学教学改革的重要任务。因此,加强对数学思想方法教学的研究具有极大地指导和推动作用。1.数学思想方法的含义从教学角度来看,数学知识不仅仅指它所包

3、含的数学内容,如概念、定理、公式、法则等等,还包括由这些内容所反映出来的数学思想方法。数学思想是人脑对数学对象的本质属性与内在联系的问题概括,间接的反映过程。数学方法是进行科学抽象的一种方法,它运用数学概念、符号、公式、理论对所研究的对象进行量与结构的分析,并对其结果进行判断,以便从量与形及其之间关系上去认识研究对象的运动变化规律。数学思想方法是人们对数学深刻理解的反映,它直接支配着数学的实践活动。任何数学事实的理解,数学概念的掌握,数学方法的运用,数学理论的建立,无一不是数学思想方法的体现与运用

4、。因此可以说,数学思想方法是对数学概念、方法和理论的本质认识。数学思想方法是数学的核心与灵魂,它不仅是数学的重要组成部分,而且是数学发展的源泉与动力。2.现代数学思想方法的起源与发展数学是一种古老而又年轻的文化,数学教学则是延续人类数学文化的社会活动。从19世纪20年代到现在,是近代和现代数学时期。在此期间,数学各分支都达到了比较完善的程度,数学的研究对象发生了重大变化,向着更加一般化、抽象化和多样化的方向发展。出现了许多具有划时代意义的数学思想方法。例如,俄国数学家罗巴切夫斯基和德国数学家黎曼从

5、否定欧氏几何第五公设出发,分别创立了“罗氏几何”与“黎氏几何”,导致了现代公理化方法的诞生;法国数学家伽罗华从全新的观念出发引入了“群”的概念,创立了群论的思想方法。非欧几何与群论的出现,是数学史上具有划时代意义的事件,也是数学思想方法发展到新阶段的里程碑。现代数学思想方法在中学数学教学中的地位越来越突出,目前,数学方法论已成为中小学新课程中十分重要的教学内容。如今,中学数学教学在很多方面尚有待于进一步研究与完善,在这里,仅从现代数学思想方法在中学数学教学中的作用为切入点,阐述对中学数学教学的认识

6、与理解。二、公理化演绎思想所谓公理化,就是从尽可能少的无定义的原始概念(基本概念)和一组不证自明的命题(基本命题)出发,利用纯逻辑推理法则,把一门数学建立成为演绎系统的一种方法。所谓基本概念和公理,当然必须反映数学实体对象的最单纯的本质和客观关系,而并非人们自由意志的随意创造。数学公理化的目的就是要把一门数学表述为一个演绎系统。这个系统的出发点就是一组基本概念和公理。因此,如何引进基本概念和确立一组公理便是运用公理化方法的关键,也即这种方法的基本内容。当然并不是说公理化思想就不需要实践经验,恰恰相

7、反,在很多时候,公理化思想给我们的启示是,我们要常常回到问题的出发点,按照冯·诺伊曼所讲的去“返本求源”,为问题注入新的直接经验,重新建立问题的基本假设(公理或者概念),从而重建关于问题的描述模型。以所熟悉的数据挖掘领域的研究为例。在学习数学的过程中我们最初是了解它(直接或者间接经验);在了解的基础上,经过实验或者逻辑证明,我们对它有了进一步的认识和理解,最后可以内化为自己思想中的成分,以至可以在不自觉中就使用,这是我们学习一般都可以达到的阶段;“知识”经过内化之后,经过进一步的反思,它会使得我们

8、个体的知识系统化,从而达到一种自觉的状态,也就是我们知道“自己知道某些东西”;最后,知识的系统化可以达到一种不自觉的自然状态(注意这种状态和第二个阶段的不自觉应用是不同的),我们可以对这个系统化之外的对象加以处理,那就是智慧了。数学知识分为两类:一类是陈述性知识(或者说明性知识),是关于事实本身的知识,例如定义、定理、公理、概念、性质、法则、运算律等等,是关于是什么的一类知识;另一类是程序性知识,指怎样进行认识活动的知识。陈述性知识可通过说明、解释、举例等方式达到理解,是可传授的,

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