20 柱、锥、台体的体积

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1、20柱、锥、台体的体积教材分析这节内容是在学完多面体与旋转体的概念、性质、画法、侧面积、表面积以后，在体积概念与体积公理的基础上，研究柱、锥、台体的体积．其中柱体体积是基础，并且由柱体体积可推导出锥体体积，而根据锥体体积又可得出台体体积．柱、锥、台体的体积是立体几何的重要内容，是历年高考的重点．通过这节知识的学习，既要使学生知道三种几何体体积的公式，又要让学生知道这些公式是怎么得出的．三种几何体的体积公式的推导是教学的重中之重．教学目标1.使学生掌握柱、锥、台体的体积公式及其初步应用．2.通过对三种几何体体积公式的探索，使学生学会观察、类比

2、、归纳、猜想等方法，培养学生分析、抽象、概括及逻辑推理能力．3.通过三种几何体体积公式的探索，培养学生独立思考、刻苦钻研、孜孜以求的毅力及勇于探索、创新的精神．任务分析对于体积这一内容，学生早在小学就有了初步认识，如长方体的体积公式．但如何推导锥、台体体积是目前的重要任务．三种几何体的体积公式的推导有着密切的联系，教学时要不断强化三者之间的关系，强化借助用已知来研究未知这种探索问题的一般性的研究方法．柱、锥体体积公式推导的理论基础是祖原理．为此，必须将祖原理要求的三个条件务必要落实到位，只有这样，棱柱、圆柱与长方体之间的体积转化以及一般棱锥

3、与三棱锥之间的体积转化才能水到渠成．三棱锥体积公式的推导是本节的重点，也是难点．要充分利用多媒体，通过课件演示，生动形象地表现三棱锥与三棱柱体积之间的关系，让学生充分体会割补变换这一数学思想．最后，利用台体的定义，并紧扣台体与锥体的关系，求出台体体积．教学设计一、问题情景在多媒体屏幕上播出阿基米德利用水来辨别金王冠纯度高低的故事．通过这个故事教师指出，在古代，人们就对体积的求法进行了探索．接着指出我国古代在公元5世纪对体积曾进行过比较深入的研究，引出祖原理．二、建立模型（一）祖原理在屏幕上显示祖原理．教师强调这个原理在欧洲直到17世纪才被意

4、大利的卡瓦列里提出，比祖之晚1100年以上，目的在于激发学生的爱国热情．1.学生讨论教师启发能否根据原理的思想，利用手中的课本等道具把这个原理解释一下．2.练　习设有底面积与高都相等的长方体和六棱柱，思考这两个几何体的体积有何关系．说明：由于祖原理条件比较复杂，学生不易弄清，教师要把已知条件分析清：（1）这两个几何体夹在两个平行平面之间．（2）用平行于两个平行平面的任一平面去截两几何体可得两个截面．（3）两个截面的面积相等．只有这三个条件都具备，才能得出两个几何体的体积相等．（二）柱体体积公式的推导［问　题］设有底面积都等于S，高都等于h的

5、任意一个棱柱，一个圆柱，如何求这两个几何体的体积？为了把这个问题让学生水到渠成地想出来，可以提出以下几个阶梯性的问题．（1）柱体体积公式目前不知道，那么同学们会求什么特殊几何体的体积呢？（2）根据刚才对祖原理的研究发现，如果两个几何体满足祖原理中的三个条件，那么这两个几何体的体积就可以相互转化．柱体的体积公式目前不会求，能否利用祖原理把目标几何体的体积转化为长方体的体积呢？教师进一步引导：构造一长方体，使已知的棱柱、圆柱与构造的长方体满足祖原理的条件．（3）长方体如何出现呢？让学生讨论得出：已知棱柱、圆柱目前已经夹在两平行平面之间，并且底面

6、积相等，所以只要在两平行平面之间放一个与前面两几何体底面积相等、高相等的长方体即可．根据祖原理这三个几何体的体积相等，而长方体体积可以利用底面积乘高求得，故两目标几何体的体积也就得出了．教师在大屏幕上显示推导过程：先把棱柱放在两平行平面之间，然后再让长方体出现，最后动态地显示三个几何体被平行于两个平行平面的任一平面去截两几何体可得三个截面；三个截面的面积相等．教师明晰：柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S和高h的积，即V柱体＝Sh．［练　习］已知一圆柱的底面半径r，高是h，求圆柱的体积．教师明晰：底面半径为r，高为h的圆柱的体积V圆柱＝

7、Sh＝πr2h．（三）锥体体积公式的推导1.等底面积等高的两个锥体的体积的关系［问　题］（1）刚才我们利用祖原理获得了等底面积等高的柱体与长方体（两个柱体）等体积，那么等底面积等高的两个锥体的体积之间有什么关系呢？（2）你们怎么知道它们的体积是相等的？（有的学生会说是估计的）（3）能证实你们估计的结论（猜想）吗？（有了前面连续两次用祖原理证明等底等高的两个柱体体积相等，学生的这个猜想就比较容易再次利用祖原理来证明）师生共同分析：用祖原理．设有任意两个锥体，不妨选取一个三棱锥，一个圆锥，并设它们的底面积都是S，高都是h（如图20-1）．（1）

8、把这两个锥体的底面放在同一个平面α上．由于它们的高相等，故它们的顶点必在与α平行的同一个平面β上，即这两个锥体可夹在两个平行平面α，β之间．（2）用平行于平面α的任意平面去截这两