高考数学人教a版(理)一轮复习【配套word版文档】:第八篇 第6讲 空间向量及其运算

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1、第6讲空间向量及其运算A级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.在下列命题中:①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;②若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面;③若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c,共面;④已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数是(  ).A.0B.1C.2D.3解析 a与b共线,a,b所在直线也可能重合,故①不正确;根据自由向量的意义知,空间任两向量a,b都共面,故②

2、错误;三个向量a,b,c中任两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故③不正确;只有当a,b,c不共面时,空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc,故④不正确,综上可知四个命题中正确的个数为0,故选A.答案 A2.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c-a)·(2b)=-2,则x=(  ).A.-4B.-2C.4D.2解析 ∵a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),∴c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2).∴(c-a)·(2b)=2(1-x)=-2,∴x=2.答案 D3.

3、若{a,b,c}为空间的一组基底,则下列各项中,能构成基底的一组向量是(  ).A.{a,a+b,a-b}B.{b,a+b,a-b}C.{c,a+b,a-b}D.{a+b,a-b,a+2b}解析 若c、a+b、a-b共面,则c=λ(a+b)+m(a-b)=(λ+m)a+(λ-m)b,则a、b、c为共面向量,此与{a,b,c}为空间向量的一组基底矛盾,故c,a+b,a-b可构成空间向量的一组基底.答案 C4.如图所示,已知空间四边形OABC,OB=OC,且∠AOB=∠AOC=,则cos〈,〉的值为(  ).A.0    B.C.    D.解析 

4、设=a,=b,=c,由已知条件〈a,b〉=〈a,c〉=,且

5、b

6、=

7、c

8、,·=a·(c-b)=a·c-a·b=

9、a

10、

11、c

12、-

13、a

14、

15、b

16、=0,∴cos〈,〉=0.答案 A二、填空题(每小题5分,共10分)5.在下列条件中,使M与A、B、C一定共面的是________.①=2--;②=++;③++=0;④+++=0;解析 ∵++=0,∴=--,则、、为共面向量,即M、A、B、C四点共面.答案 ③6.在空间四边形ABCD中,·+·+·=________.解析 如图,设=a,=b,=c,·+·+·=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=0.

17、答案 0三、解答题(共25分)7.(12分)已知A、B、C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,若点M满足=(++).(1)判断、、三个向量是否共面;(2)判断点M是否在平面ABC内.解 (1)由已知++=3,∴-=(-)+(-),即=+=--,∴,,共面.(2)由(1)知,,,共面且基线过同一点M,∴四点M,A,B,C共面,从而点M在平面ABC内.8.(13分)如右图,在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,G为△BC1D的重心,(1)试证:A1、G、C三点共线;(2)试证:A1C⊥平面BC1D;(3)求点C到平面BC1D的距离.(1)

18、证明 =++=++,可以证明:=(++)=,∴∥,即A1、G、C三点共线.(2)证明 设=a,=b,=c,则

19、a

20、=

21、b

22、=

23、c

24、=a,且a·b=b·c=c·a=0,∵=a+b+c,=c-a,∴·=(a+b+c)·(c-a)=c2-a2=0,∴⊥,即CA1⊥BC1,同理可证:CA1⊥BD,因此A1C⊥平面BC1D.(3)解 ∵=a+b+c,∴2=a2+b2+c2=3a2,即

25、

26、=a,因此

27、

28、=a.即C到平面BC1D的距离为a.B级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2013·海淀月考)以下四个命题中

29、正确的是(  ).A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B.若{a,b,c}为空间向量的一组基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间向量的另一组基底C.△ABC为直角三角形的充要条件是·=0D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析 若a+b、b+c、c+a为共面向量,则a+b=λ(b+c)+μ(c+a),(1-μ)a=(λ-1)b+(λ+μ)c,λ,μ不可能同时为1,设μ≠1,则a=b+c,则a、b、c为共面向量,此与{a,b,c}为空间向量基底矛盾.答案 B2.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1

30、与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是(  ).A.-a+b+cB.a+b+cC.-a-b+cD.a-b+c解析 =+=+(

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