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1、混沌理论及其在建立神经网络模型中的应用生物数学2005,20(4):46,3—468JournalofBiomathematics混沌理论及其在建立神经网络模型中的应用桂江生应义斌(浙江大学生物系统工程与食品科学学院,浙江杭州310029)摘要:随着许多学科的相互紧密交叉以及混沌理论的日益深入的研究,人们从生物现象中提出了许多与混沌有关的神经网络模型,本文对混沌理论的基本原理做了简要概述,并着重介绍了四种有代表性的混沌神经网络模型及其应用.同时指出这一研究方向无论在理论还是在应用方面都具有十分诱人的前景.关键词
2、:混沌;神经网络;生物数学中图分类号:0175.12;TP183MR分类号:34K20;93D20文献标识码:A文章编号:1001—9626(2005)04～04B3—0B0引言当前,自然科学正面临着深刻的变化.学科之间的相互渗透,正在推动着许多交叉和综合性科学的产生.突飞猛进地发展的非线性科学就是影响深远的综合性科学之一.非线性科学是国内外科学研究的热点.作为非线性科学的重要组成部分混沌学更是引起了人们深入的研究.无论是在生物学,数学,物理学,化学,信息科学,还是在天文学,经济学,甚至在音乐艺术等领域,混沌学
3、都得到了越来越广泛的应用[1I2].使得混沌学在现代科学技术中起着十分重要的作用.正如混沌科学的倡导者之一的M.Shlesinger所说:"2O世纪科学将永远铭记的只有三件事,那就是相对论,量子力学与混沌."1混沌理论的基本原理混沌是发生在确定性系统中伪随机的现象,它是一种动态系统的运动,它通常具有初值放大效应,奇怪吸引性,不可线性迭加,非周期性,结构自相似及分形几何特征.在一个系统内,与混沌现象相关的特征是:系统的时间演化显示出对初始数据极其敏感的依赖性;实际的运动倾向于很不规则,很不稳定,相空间中的轨道表现
4、为极其复杂,扭曲,缠结的几何结构;迄今不存在一般性方法,使得有可能以先验的方式判断系统是否具有混沌行为;从规则区域向混沌区域的转变既不简单,又不易分析,有时它是突然的,几乎不连续的,但偶尔存在有限的转变区.收稿日期:2003…0530基金项目:国家自然科学基金资助项目(30270763)作者简介:桂江生(1978一),男,安徽桐城人,博士生生物数学第20卷1.1描述混沌的数学模型近年来,对混沌现象的实验得到了许多有意义的结果,但更多的结果还是来自对非线性系统数学模型的理论分析和计算机模拟,描述这些模型的方程有:
5、非线性迭代方程(组),非线性自治微分方程组和差分一微分方程(组).此外,人们早已开始了对自然界中广泛存在的湍流现象进行研究,描述流体运动的数学模型是非线性的偏微分方程组,涉及到时间和空间两个方面.是一类比较复杂的数学模型.1.2描述混沌的主要参数表征混沌特征的主要参数为:分维数,Lyapunov指数和Kolmogorov熵等.分维数刻画奇怪吸引子的静态性质,给出奇怪吸引子在混沌运动过程中自由度的估计.分维数的表示方法有多种,一般实验时间序列所用分维多指关联维(CorrelationDimension),它给出能
6、恰当地模拟系统动力学所必需的最少独立变量.一般说来,奇怪吸引子的维数都是分数,而反之则不然.Lyapunov指数谱()给出轨道在各个独立的相空间方向上发散或收敛的速率,作为沿轨道长期平均的结果,是一种整体特征,其值总是实数.当A<0时,在该方向上,相体积收缩,运动稳定,且对初始条件不敏感;而在>0的方向轨道迅速分离,长时间行为对初始条件敏感,运动呈混沌状态;:0对应稳定边界,初始误差不放大也不缩小.根据Lyapunov指数谱的符号,可将吸引子分类,如在三维相空间内,(一,一,一)是不动点,D=0;(
7、0,一,一)是极限环,D=1;(0,0,一)是二维环面,D=2;(+,0,一)是奇怪吸引子,D=分数.对奇怪吸引子,由于不稳定(入>0)和耗散(入<0=两种因素在体系中某个"方向上"不断拉伸和折叠的竞争,会将任意小的初始误差迅速放大,以致吸引子上本来邻近的状态变得越来越不相关.Kolmogorov熵则是关于混沌系统的初始信息损失速率的度量:K=—,其中t2一t1趋向于..,,为信息量.熵是信息在一个足够长时间内的变化率,单位为比特/秒.当信息量不随时间发生任何变化时(K=0),是完全可预测系统;对随
8、机系统,信息量将随着时间发生无穷大变化,表明其状态是完全不可预测的.而对于混沌系统,由于初始敏感性而导致的轨道指数发散,任一微小的初始不确定性都将按某一确定的指数增长率被放大.所以,熵是一确定的正数,表明混沌系统在某有限尺度上是完全可预测的.越小,意味着这种预测程度就越大.分维,Lyapunov指数谱和K熵既从不同的角度描述了混沌吸引子的特征,又彼此相互联系,有了描述奇怪吸引子的特征参
