数学模型第三版课后习题高兵龙

《数学模型第三版课后习题高兵龙》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、《数学模型》作业解答第一章（2008年9月9日）4．在“椅子摆放问题”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余条件不变.试构造模型并求解.解：设椅子四脚连线呈长方形ABCD.AB与CD的对称轴为x轴，用中心点的转角θ表示椅子的位置.将相邻两脚A、B与地面距离之和记为f(θ);C、D与地面距离之和记为0g(θ).并旋转180.于是，设f(0)≻0,g(0)=0,就得到g(π)≻0,f(π)=0.数学模型：设f(θ)、g(θ)是[0,2π]上θ的非负连续函数.若∀θ∈[0,2π],有f(θ)g(θ)=0,且g(0)=0,f(0)≻0,g(π)≻0,f(π)=0,则∃θ∈[0,2π],使

2、0f(θ)=g(θ)=0.00模型求解:令h(θ)=f(θ)−g(θ).就有h(0)≻0,h(π)=f(π)−g(π)=0−g(π)≺0.再由f(θ),g(θ)的连续性,得到h(θ)是一个连续函数.从而h(θ)是[0,π]上的连续函数.由连续函数的介值定理：∃θ∈(0,π),使h(θ)=0.即∃θ∈(0,π),使000f(θ)−g(θ)=0.00又因为∀θ∈[0,2π],有f(θ)g(θ)=0.故f(θ)=g(θ)=0.008.假定人口的增长服从这样的规律：时刻t的人口为x(t),单位时间内人口的增量与x−x(t)成正比（其中x为最大容量）.试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模mm型、

3、阻滞增长模型的结果比较.解：现考察某地区的人口数，记时刻t的人口数为x(t)（一般x(t)是很大的整数）,且设x(t)为连续可微函数.又设x(t)

4、=x.任给时刻t及时间增量∆t,因为单位时间内人t=00口增长量与x−x(t)成正比,假设其比例系数为常数r.则t到t+∆t内人口的增量为：mx(t+∆t)−x(t)=r(x−x(t))∆t.m两边除以∆t,并令∆t→0,得到《数学建模》第三版课后习题解答第1页共59页⎧dx⎪=r(xm−x)−rt⎨dt解为x(t)=xm−(xm−x0)e⎪⎩x(0)=x0如图实线所示，x指数模型当t充分大时xm它与Logistic模型相近.xLogistic模型

5、0ot9．为了培养想象力、洞察力和判断力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面或反面思考.试尽可能迅速回答下面问题：（1）某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿.次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅店.某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点.为什么？（2）37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束.问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛.如果是n支球队比赛呢？（3）甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同.甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随

6、机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，仅约10天到达乙站.问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？（4）某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6：00抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家，一日他提前下班搭早一班火车于5：30抵T市车站，随即步行回家，他的妻子象往常一样驾车前来，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前了10分钟.问他步行了多长时间？（5）一男孩和一女孩分别在离家2km和1km且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4km/h和2km/h的速度步行回家.一小狗以6km/h的速度由男孩处奔向女孩，又从女

7、孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中，问小狗奔波了多少路程？如果男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们之间，问当他们到达学校时小狗在何《数学建模》第三版课后习题解答第2页共59页处？解：（1）方法一：以时间t为横坐标，以沿上山路径从山下旅店到山顶的行程x为纵坐标，第一天的行程x(t)可用曲线（Ι）表示，第二天的行程x(t)可用曲线（ΙΙ）表示，（Ι）（ΙΙ）是连续曲线必有交点p(t,d),000两天都在t时刻经过d地点.x00d方法二：设想有两个人，(Ι)一人上山，一人下山，同一天同p0时出发，沿同一路径,必定相遇.d(ΙΙ)0t早8t晚50方法三：我们以山下旅店为始点记路程,设从山下旅店到山顶的

8、路程函数为f(t)(即t时刻走的路程为f(t)),同样设从山顶到山下旅店的路函数为g(t),并设山下旅店到山顶的距离为a(a>0).由题意知：f(8)=0,f(17)=a,g(8)=a,g(17)=0.令h(t)=f(t)−g(t),则有h(8)=f(8)−g(8)=−a<0，h(17)=f(17)−g(17)=a>0，由于f(t),g(t)都是时间t的连续函数,因此h(t)也是时间t的连续函数,