量子力学22套考研自测题答案

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1、HY制作HY制作HY制作量子力学自测题（１）一、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。（4分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）3、考研自测题精美汇总全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。（4分）22i(pˆx−xpˆ)4、证明xx是厄密算符（5分）pˆ5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x和动量x之间的测不准关系。（6分）二、（15分）已知厄密算符ˆ,ˆAˆ2=Bˆ2=，且AˆBˆ+BˆAˆ=0AB，满足1，求1、在A表象中算符A

2、ˆ、Bˆ的矩阵表示；2、在B表象中算符Aˆ的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。三、（15分）设氢原子在t=0时处于状态111ψ(r,0)=R(r)Y(θ,ϕ)−R(r)Y(θ,ϕ)+R(r)Y(θ,ϕ)21103110211−1222，求2ˆ1、t=0时氢原子的E、Lˆ和Lz的取值几率和平均值；2ˆ2、t>0时体系的波函数，并给出此时体系的E、Lˆ和Lz的取值几率和平均值。四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下⎛100⎞⎛0C0⎞⎜⎟⎜⎟Hˆ=⎜030⎟+⎜C00⎟⎜⎟⎜

3、⎟哈密顿算符由下面的矩阵给出⎝00−2⎠⎝00C⎠这里，Hˆ=Hˆ(0)+Hˆ′，C是一个常数，C<<1，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。五、（10分）令S+=Sx+iSy，S−=Sx−iSy，分别求S+和S−作用于Sz的1⎛1⎞1⎛0⎞+=⎜⎜⎟⎟−=⎜⎜⎟⎟本征态2⎝0⎠和2⎝1⎠的结果，并根据所得的结果说明S+和S的重要性是什么？−QQ：704999167QQ：704999167QQ：704999167HY制作HY制作HY制作量子力学自测题（２）一、填空题（本题20分）1．在量子力学中，体系的量

4、子态用Hilbert空间中的来描述，而力学量用考研自测题精美汇总描述。力学量算符必为算符，以保证其为实数。当对体系进行某一力学量的测量时，测量结果一般来说是不确定的。测量结果的不确定性来源于。2．在量子力学中，一个力学量是否是守恒量只决定于的性质，也就是说，决定于该力学量是否与体系的对易，而与体系的无关。一个力学量是否具有确定值，只决定于体系的，也就是说，决定于体系是否处于该力学量的，无论该力学量是否守恒量。二、（本题15分）1．设全同二粒子的体系的Hamilton量为Hˆ（1，2，），波函数为ψ（1，2，），试证明

5、交换算符Pˆ是一个守恒量。12dUˆ2．设Uˆ是一个幺正算符，求证Hˆ=i=⋅Uˆ+是厄米算符。dt3．设σ为Pauli矩阵，yiθσy（1）求证：e=cosθ+iσsinθyiθσy（2）试求：Tre三、（本题10分）求证：ψ(xyz)=x+y+z是角动量平方算符lˆ2的本征值为2=2的本征函数。四、（本题15分）QQ：704999167QQ：704999167QQ：704999167HY制作HY制作HY制作1iϕ设一量子体系处于用波函数ψ(θ,ϕ)=(esinθ+cosθ)所描述的4π量子态。求：（1）在该态下，

6、lˆ的可能测值和各个值出现的几率。考研自测题精美汇总z（2）lˆ的平均值。z33±iϕ如有必要可利用，Y=cosθ，Y=∓sinθe。101±14π8π五、（本题20分）已知，在一维无限深方势阱中运动粒子的能量本征值和本征函数222π=n2nπx分别为E=，ψ=sin，（n=1，2，3…）n2n2maaa⎧2kax,0

7、(n=1,2,3,…)表示一维谐振子的能量本征态，且已知1⎡n+1n⎤mωxn=⎢n+1+n−1⎥，α=α⎣22⎦=（1）求矩阵元2。mxn（2）设该谐振子在t=0时处于基态2−2kt0，从t>0开始受微扰H′=xe的作用。求：经充分长时时(t→∞)以后体系跃迁到2态的几率。QQ：704999167QQ：704999167QQ：704999167HY制作HY制作HY制作量子力学自测题（3）一、简答题（每小题5分，共40分）K1.一粒子的波函数为ψ()r=ψ(x,y,z)，写出粒子位于x~x+dx间的几考研自测题精美汇

8、总率。2.粒子在一维δ势阱V(x)=−γδ(x)，(γ>0)，中运动，波函数为ψ(x)，写出ψ′(x)的跃变条件。3.量子力学中，体系的任意态ψ(x)可用一组力学量完全集的共同本征态ψn(x)展开：ψ(x)=∑cnψn(x)，写出展开式系数cn的表达式。n[z,p]=?[x,p]=?[L,L]=?zyxz4.给出如下对易关系：[]2[]s,s=