江西省南康中学2014届高三下学期第五次大考数学（理）试卷

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1、一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1．已知复数，则所对应的点位于复平面的（　　）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列函数中，其中最小正周期为，且图象关于点中心对称的是（　）A．B．C．D．3．函数是定义在的偶函数，则的值为（　　）A．B．C．D．4.若函数的定义域为R，则的取值范围是（）A．B．C．D．5．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为()A．B．C．D．6．在△ABC中，若，则△ABC是()A.等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角

2、形7．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1＝A1C1，AC1A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出如下三个结论①C1M平面A1ABB1；②A1BAM；③平面AMC1//平面CNB1.其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．08．函数在上的最小值是（）A．0B．1C．2D．3二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11．已知四点，则向量在向量方向上的射影为．12．在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为0.4，则在上取值的概率为13．某几何体的一条棱长为，在该几何体的主视图中，这条棱的投影的投影长为的线段，在该几何体的左视图与俯视图中，这

3、条棱的投影分别是长为和的线段，则的最大值为14．已知且。若则的取值范围是________。三．选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做只按其中第一题评分,本题共5分.15.(1)（坐标系与参数方程选做题)在直角坐标中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为(为参数，)与的交点的直角坐标为.(2)(不等式选做题)设对任意实数恒成立，则x取值集合是.四、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）已知向量记.（1）若，求的值；（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是、、，

4、且满足，若，试判断△ABC的形状.17．(本小题满分12分)甲、乙两个进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立⑴求甲在打的局数最少的情况下获胜的概率；⑵求比赛停止时已打局数的期望。19．（本小题满分12分）已知，是方程的两根，数列是公差为正的等差数列，数列的前项和为，且．（1）求数列，的通项公式；（2）记=，求数列的前项和21．（本小题满分14分）在直角坐标平面中，三角形ABC的两个顶点的坐标分别为，，两动点M，N满足＝，向量与共线.（1）求△ABC的顶点C的

5、轨迹方程；（2）若过点P（0，a）的直线与（1）的轨迹相交于E、F两点，求·的取值范围；（3）若G（－a，0）、H（2a，0），Q为C点轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数，使得∠QHG＝λ∠QGH恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.南康中学2013～2014学年度第二学期高三第五次大考数学（理）参考答案四、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．解……3分（1）由已知得，于是，∴………………6分（2）根据正弦定理知：∵……9分∴或或而，所以，因此ABC为等边三角形.………………12分18．（1）将圆柱一半展开后底面的半

6、个圆周变成长方形的边BA，曲线就是对角线BD。由于，,所以这实际上是一个正方形.所以曲线的长度为.…………6分（2）当时，点恰好为AB的中点，所以P为中点，故点到平面APB的距离与点到平面APB的距离相等。连结AP、BP，OP.由且知：平面APB.从而平面平面APB。作于H，则平面APB。所以，即为点到平面APB的距离。在中，，所以。于是：。所以，点到平面APB的距离为。…………12分20．解：（1）当时，当时，，则为增函数当时，，则为减函数…………4分（2）设切点为，则由，有，化简得，…………7分即或，…①由，有，……②由①、②解得或．…………9分（3）当时，，由（2）的结论直

7、线为曲线的切线，，点在直线上，根据图像分析，曲线在直线下方．…………11分下面给出证明：当时，．，当时，，即．…………12分，，．要使不等式恒成立，必须．又当时，满足条件，且，因此，的最小值为．…………13分21．（1）设，由，知，是△ABC的重心，。又且向量与共线，在边AB的中垂线上，。而，，即…………4分（2）设，过点的直线方程为，代入得，，即。。。。………………9分（3）设，则，即。当轴时，，即∠QHG＝2∠QGH，故猜想。当QH不垂直x轴时，，。又与同在内，。故存在，使恒