2、由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为x,y,z轴方向，把粒子沿x,y,z轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有∫p⋅dx=nh,(n=1,2,3,⋯)xxx即p⋅2a=nh（2a：一来一回为一个周期）xx∴p=nh/2a,xx同理可得，p=nh/2b,p=nh/2c,yyzzn,n,n=1,2,3,⋯xyz粒子能量22⎛2n22⎞1222πℏ⎜nxynz⎟E=(p+p+p)=++nxnynz2mxyz2m⎜a2b2c2⎟
3、⎝⎠n,n,n=1,2,3,⋯xyz1221.3设质量为m的粒子在谐振子势V(x)=mωx中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。2提示：利用∫p⋅dx=nh,n=1,2,⋯,p=2m[E−V(x)]V(x)1解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为x≤a（1）122其中a由下式决定：E=V(x)=mωx。−a0axx=a22由此得a=2E/mω，（2）x=±a即为粒子运动的转折点。有量子化条件+a+a122222∫p⋅dx=2∫2m(E−mωx)dx=2mω∫a−xdx2−a−a2π2=2mωa⋅=mωπa
4、=nh22nh2ℏn得a==（3）mωπmω代入（2），解出E=nℏω,n=1,2,3,⋯（4）n222u22au积分公式：∫a−udu=a−u+arcsin+c22a1.4设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。2π2提示：利用pdϕ=nh,n=1,2,⋯,p是平面转子的角动量。转子的能量E=p/2I。∫ϕϕϕ0解：平面转子的转角（角位移）记为ϕ。.它的角动量p=Iϕ（广义动量），p是运动惯量。按量子化条件ϕϕ2π∫pdx=2πp=mh,m=1,2,3,⋯ϕϕ0∴p=mh，ϕ因而平面转子的能量222E=p
5、/2I=mℏ/2I，mϕm=1,2,3,⋯第二章波函数与Schrödinger方程�2.1设质量为m的粒子在势场V(r)中运动。3（a）证明粒子的能量平均值为E=∫dr⋅w，2ℏ**w=∇ψψ+ψVψ（能量密度）2m∂w�（b）证明能量守恒公式+∇⋅s=0∂t22*�ℏ⎛∂ψ∂ψ*⎞s=−⎜∇ψ+∇ψ⎟（能流密度）⎜⎟2m⎝∂t∂t⎠证：（a）粒子的能量平均值为（设ψ已归一化）2*⎛ℏ2⎞3E=∫ψ⎜⎜−∇+V⎟⎟ψdr=T+V（1）⎝2m⎠3*V=∫drψVψ（势能平均值）（2）23*⎛ℏ2⎞T=∫drψ⎜⎜−∇
6、⎟⎟ψ()⎝2m⎠2ℏ∫3[(*)(*)()]=−dr∇⋅ψ∇ψ−∇ψ⋅∇ψ2m其中T的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。因此2ℏ3*T=∫dr∇ψ⋅∇ψ（3）2m结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度2ℏ**w=∇ψ⋅∇ψ+ψVψ,（4）2m3且能量平均值E=∫dr⋅w。（b）由（4）式，得∂wℏ2⎡..⎤..****=⎢∇ψ⋅∇ψ+∇ψ⋅∇ψ⎥+ψVψ+ψVψ∂t2m⎣⎦ℏ2⎡⎛..⎞⎛..⎞⎤..***22***=⎢∇⋅⎜⎜ψ∇ψ+ψ∇ψ⎟⎟−⎜⎜ψ∇ψ+ψ∇ψ⎟⎟⎥+ψVψ+ψVψ
7、2m⎣⎝⎠⎝⎠⎦.2.2�*⎛ℏ2⎞⎛ℏ2⎞*=−∇⋅s+ψ⎜−∇+V⎟ψ+ψ⎜−∇+V⎟ψ⎜⎟⎜⎟⎝2m⎠⎝2m⎠�⎛..⎞**=−∇⋅s+E⎜⎜ψψ+ψψ⎟⎟⎝⎠�∂=−∇⋅s+Eρ（ρ：几率密度）∂t�=−∇⋅s（定态波函数，几率密度ρ不随时间改变）∂w�所以+∇⋅s=0。∂t2.2考虑单粒子的Schrödinger方程32∂�ℏ2����iℏψ(r,t)=−∇ψ(r,t)+[V(r)+iV(r)]ψ(r,t)（1）12∂t2mV与V为实函数。12（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。（b）证明粒子在空间体积
8、τ内的几率随时间的变化为d∫∫∫3*ℏ∫∫(**)�2V2∫∫∫3*drψψ=−ψ∇ψ−ψ∇ψ⋅dS+drψψdt2imℏτSτ证：（a）式（1）取复共轭，得2∂*ℏ2*()*−iℏψ=−∇ψ+V−iVψ（2）12∂t2m*ψ×（1）-ψ×（2）,得2∂(*)ℏ(*22*)*iℏψψ=−ψ∇ψ−ψ∇ψ+2iψVψ2∂t2m2ℏ(**)*=−∇⋅ψ∇ψ−ψ∇ψ
