第二章 从maxwell方程组到光波导理论

《第二章 从maxwell方程组到光波导理论》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第二章从Maxwell方程组到光波导理论光是一种特殊波段的电磁波，它在波导中传输满足电磁场的基本方程——Maxwell方程组。这一章中，我们将从Maxwell方程组出发，建立光在波导中传输的电磁波理论与几何光学理论，进而讨论光在波导中的传输行为。§2.1Maxwell方程组19世纪60年代，英国物理学家麦克斯韦（JamesClerkMaxwell，1831~1879）在法拉第、高斯等人对电磁现象深入研究的基础上，加上他自己对电磁现象与力学的类比，提出了涡旋电场和位移电流假设，建立起一组完整的定量描述宏观电磁现象的基本方程，即著名的Maxwell方程组。根据这组基本方程

2、，麦克斯韦预言了电磁波的存在，并指出光波就是波长极短的电磁波，从而使人类对光的本质的认识向前迈进了一大步，也在物理学发展史上建立了一座新的里程碑。迄今为止，除了光发射与吸收必须用量子理论才能圆满解释外，麦克斯韦的经典电磁理论仍是分析光波传输问题的理论基础。2.1.1Maxwell方程组宏观电磁现象可以用电磁场来描述。真空中的电磁场由电场强度和磁感应强度来描述。而为描述场对物质的作用，如光在透明介质中传播，则需再引入电位移矢量和磁场强度。在电磁场中每一点，这些矢量随时间和空间的变化关系由Maxwell方程组给出（2.1.1a）（2.1.1b）（2.1.1c）（2.1.1

3、d）式中，为介质中的传导电流密度；为自由电荷密度。（2.1.1）式中四个方程不是独立的，如果认为电流连续方程（2.1.2）是独立方程，则c、d两式可由a、b两式推出。为了从（2.1.1）式完全确定电磁场量，尚需给出、与、的关系，即物质方程60（2.1.3a）（2.1.3b）（2.1.3c）式中，为介质的电导率，对良好介质可以认为近似为零；和分别为真空的介电常数和磁导率；称为介质的极化强度；称为介质的磁化强度。对于电各向异性介质，电极化强度可以写成（2.1.4）其中是i+1阶张量。如果除外，其余的元素均为零，则称此介质为线性介质，否则为非线性介质。对于各向异性线性介质，

4、总可以选择合适的坐标系使（2.1.5）若、、均不相等，称为双轴晶体；若其中只有两个相等，称为单轴晶体；若三个都相等，即，可以用标量表示，从而得到（2.1.6）（2.1.7）其中为相对介电常数。由于一般传光介质均为非磁性介质，，从而（2.1.8）满足（2.1.7）及（2.1.8）式的介质称为各向同性线性介质，如未作特殊说明，本书所涉及的介质均为此种介质。通过上面的讲述我们可以看出，Maxwell方程组虽然给出了电磁场的基本规律，但由于介质和场量的复杂性，使得求解并不容易。考虑物质方程，可以降低求解难度。首先，通过线性各向同性介质假设降低了介质的复杂程度；其次，通过物质方

5、程可以使求解的场量由4个（、、、）变为2个（、）。但是，介质和场量均是时间t与空间位置（x，y，z）的函数，方程仍很复杂。先在时间上将场量简化。引入傅里叶变换（2.1.9a）60（2.1.9b）式中，可代表所有场分量的时域表达式；则为其频域表达式。从（2.1.9b）式可以看出，任意时域场分量都可以分解成多个频域分量。在良好介质（，）中，且介质的性质不随时间变化（定态假设），则各个频率的场量均满足频域中的Maxwell方程组（2.1.10a）（2.1.10b）（2.1.10c）（2.1.10d）若不涉及色散或非线性传输等与频率有关的现象，对于某一工作频率，式中、仅是空间

6、位置（x，y，z）的函数，而时域中的电磁场量可根据（2.1.9a）式叠加而成。再考虑场量在空间上能否简化。若介质均匀，即不随空间位置（x，y，z）变化，则（2.1.10d）式可化为，问题显然简单了很多。但大多数情况是，仅在某一局域为常数，因此我们接下来讨论电磁场的边界条件，即两局域交界面处电磁场的联系。2.1.2电磁场边界条件Maxwell方程组（2.1.1）式描述的是电磁性质、为位置坐标的连续函数的介质中电磁场的基本规律。而当介质的性质发生突变时，由于导数不存在，所以（2.1.1）式不再适用。此时需将（2.1.1）式改成积分形式（2.1.11a）（2.1.11b）（

7、2.1.11c）（2.1.11d）式中和的积分路径L分别为（2.1.11a）和（2.1.11b）两式右端面积分区域S的边界；而和在闭合曲面上面积分的积分区域S分别为（2.1.11c）和（2.1.11d）两式右端体积分区域V60的外表面。将（2.1.11a）和（2.1.11b）式应用于图2.1.1(a)所示的窄条型回路，可得到（2.1.12a）（2.1.12b）（2.1.12）式说明，两介质分界面处电场强度切向连续，而磁场强度的切向分量在边界面上的突变取决于界面上的传导面电流密度。再将（2.1.11c）和（2.1.11d）式应用于图2.1.1(b)所示