高中数学选修1-2常考题型：数系的扩充和复数的概念

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1、数系的扩充和复数的概念【知识梳理】1．复数的定义形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.全体复数所成的集合C叫做复数集．2．复数的表示复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部．3．复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋bi

2、a，b∈R}中任取两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.4．复数的分类(1)复数a＋bi(a，b∈R)(2)集合表示：【常考题型】题型一、复数

3、相等的充要条件【例1】　(1)若5－12i＝xi＋y(x，y∈R)，则x＝________，y＝________.(2)已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x，y∈R，i为虚数单位．求实数x，y的值．[解析]　(1)由复数相等的充要条件可知x＝－12，y＝5.[答案]　－12　5(2)[解]　根据复数相等的充要条件，由(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，得解得即x＝，y＝4.【类题通法】解决复数相等问题的步骤(1)等号两侧都写成复数的代数形式；(2)根据两个复数相等的充要条件列出方程(组)；(3)解方程(组)．【对点训练】已知x

4、2＋y2－6＋(x－y－2)i＝0求实数x，y的值．解：由复数相等的条件得方程组由②得x＝y＋2，代入①得y2＋2y－1＝0.解得y1＝－1＋，y2＝－1－.所以x1＝y1＋2＝1＋，x2＝y2＋2＝1－.即或题型二、复数的分类【例2】　已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z为实数？　(2)z为虚数？　(3)z为纯虚数？[解]　(1)要使z为实数，需满足m2＋2m－3＝0，且有意义即m－1≠0，解得m＝－3.(2)要使z为虚数，需满足m2＋2m－3≠0，且有意义即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.(3)要使z

5、为纯虚数，需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.【类题通法】利用复数的分类求参数的方法及注意事项利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.【对点训练】设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当m为何值时，(1)z是实数？　(2)z是纯虚数？解：(1)要使复数z为实数，需满足解得m＝－2或－1.即当m＝－2或－1时，z是实数．(2)要使复数z为纯虚数，需满足解得m＝3.即当m＝3

6、时，z是纯虚数．【练习反馈】1．在2＋，i,0,8＋5i，(1－)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为(　　)A．0　　　　　　　　　B．1C．2D．3解析：选C　i，(1－)i是纯虚数，2＋，0,0.618是实数，8＋5i是虚数．2．以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的复数是(　　)A．2－2iB．2＋2iC．－＋iD.＋i解析：选A　－＋2i的虚部为2，i＋2i2＝－2＋i，其实部为－2，故所求复数为2－2i.3．下列命题：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数

7、，则x＝±1；③两个虚数不能比较大小．其中正确命题的序号是________．解析：当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错．答案：③4．已知(3x＋y)＋(2x－y)i＝(7x－5y)＋3i，则实数x＝________，y＝________.解析：∵x，y是实数，∴根据两个复数相等的充要条件，可得解得答案：　5．已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解：(1)当

8、z为实数时，则∴∴当a＝6时，z为实数．(2)当z为虚数时，则有∴即a≠±1且a≠6.∴当a≠±1且a≠6时，z为虚数．(3)当z为纯虚数时，则有∴∴不存在实数a使z为纯虚数．6．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．解：∵M∪P＝P，∴M⊆P，即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，得解得m＝1；由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，得解得m＝2.综上可知m＝1或m＝2.