单倒置摆控制系统的状态空间设计

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1、单倒置摆控制系统的状态空间设计摘要20世纪60年代随着电子计算机技术的进步，航空航天技术和综合自动化发展的需要，推动了以状态空间描述为基础、最优控制为核心，主要在时域研究多输入输出的现代控制理论的诞生。卡尔曼、贝尔曼和庞特里亚金等倡导从变化后的频域回到时域，用状态空间表达式建立MIMO线性/非线性、定常/时变系统的动态数学模型，并提出与经典控制理论频域法不同的状态反馈和最优控制方法，即现代控制理论。在控制理论发展的过程中，某一理论的正确性及在实际应用中的可行性需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证。倒立摆就是

2、这样一个被控制对象。倒立摆不仅仅是一种优秀的教学实验仪器，同时也是进行控制理论研究的理想实验平台。倒立摆系统在控制理论研究中是一种较为理想的实验装置。本文通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。SummaryThe1960swiththeprogressofcomputertechnology,aerospacetechnologyandautomationneedsofthedevelopment,andpromotethestatespaceisdescribedastheb

3、asisofoptimalcontrolasthecore,inthetimedomainmulti-inputandoutputofmoderncontroltheorywasborn.Kalman,BellmanandPontryaginadvocatefromthechangesinthefrequencydomainbacktothetimedomain,establishMIMOlinear/nonlinearstate-spaceexpression,steady/time-varyingdynamicmath

4、ematicalmodelofthesystem,andproposedfrequencydomainmethodofstatefeedbackandoptimalcontrolmethodwiththeclassicalcontroltheoryandmoderncontroltheory.Processcontroltheory,atheoryofcorrectnessandthefeasibilityinpracticalapplicationsaccordingtothetheoreticaldesignofthe

5、controllertocontrolatypicalobjecttoverify.Invertedpendulumisacontrolobject.Invertedpendulumisnotjustateachinglaboratoryinstruments,isalsoanidealexperimentalplatformcontroltheory.Invertedpendulumsysteminthecontroltheoryisanidealexperimentalsetup.Controltheinvertedp

6、endulumisusedtotestnewcontrolmethodsisstrongtodealwithnonlinearandstabilityproblems.关键字：单倒置摆系统、MATLAB、观测器二、主题背景单倒置摆系统的原理图，如图1所示。设有一倒立摆(摆杆和其上的摆锤)用铰链安装在由伺服电机驱动的小车上，其控制控制目标是当倒置摆无论出现向左或向右倾倒时，通过控制直流电动机，使小车在水平方向运动，将倒置摆保持在垂直位置上。设摆的长度为L、质量为m，安装在质量为M的小车上。小车由一台直流电动机拖动，在水平方向

7、对小车施加控制力u相对参考系产生位移z。若不给小车施加控制力，则倒置摆就不能保持在垂直位置而会向左或向右倾倒。Mumlθz图（1）图（2）为简化问题，工程上往往忽略一些次要因素。这里，忽略摆杆质量、执行电动机惯性以及摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦及风力。z为小车水平方向的瞬时位置坐标，θ摆杆偏离垂线的角度，则摆锤重心的水平、垂直坐标分别为，、。图(2)所示为摆杆-摆锤联合体及小车受力图，其中、分别为小车通过铰链作用于摆杆的力的水平、垂直分量及对应的分作用力。因忽略摆杆的质量，则摆杆-摆锤联合体重心近似于摆锤中心，且摆杆-

8、摆锤联合体围绕其重心的转动惯量J0摆杆-摆锤联合体的运动分解为重心的水平运动、重心的垂直运动及绕重心的转动这三个运动，其中在控制力u的作用下，小车及摆均产生加速运动，根据牛顿第二定律，在水平直线运动方向的惯性力应与控制力u平衡，则有（2-1）（2-2）（2-3）小车的水平运动方程为（2-4）将（2-1）