走进数学思维(四)数学思维的科学

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1、走进数学思维（四）：数学思维的科学由前面关于“数学活动”的分析我们显然可以获得这样的启示：就数学思维的教学而言，最有效的方法是将其渗透于具体数学知识与技能的教学之中，因为这不仅可以使学生更好地体会数学思维的作用和意义，从而真正成为可以学到手和能够加以推广应用的，也可使相关的知识内容成为可以理解的，从而彻底改变囫囵吞枣、死记硬背的现象。应当指明的是，这事实上也可看成中学数学教学的相关实践所给予我们的一个重要教益。具体地说，从20世纪80年代开始，作为研究数学思维的一门专门学问，数学方法论在我国得到了迅速发展，不仅获得了一系列重要的研

2、究成果，而且也在促进实际数学教学活动方面取得了突出成绩，这就是“数学方法论指导下的数学教学”。(对此可参见郑毓信所著的《数学方法论》，广西教育出版社，1991年版；或郑毓信所著的人数学方法论入门夕，浙江教育出版灶，2006年版)基于这样的背景，以下情况的出现就十分自然了，即有不少学者都力图将“数学方法论”及其相关成果直接推广应用于小学数学教学。但是，根据笔者的亲身体验，我们首先应清楚地认识到这样一点：如果不能针对小学数学的具体内容与小学生的认知水平进行具体分析，任何简单的移植都不可能获得成功。例如，有不少这样的论著，尽管它们都以“

3、小学数学方法论”(或其他类似的题目)作为书名或标题，但其主要内容则源白一般的数学方法论著作，如“函数思想”“极限思想”“集合思想”的详细论述等。在笔者看来，这些事实上都已超出了小学生的接受水平。为了清楚地说明问题，以下就以“类比(联想)”为例来进行分析。正如人们所广泛了解的，在一般的数学方法论著作中，类比常常被列为最基本的一种数学思维。也就是说，在数学中我们常常可以通过两类不同对象的比较获得一定的联想，包括由已知的结论引出关于未知对象的新的猜测，以及由已有的知识获得关于如何求解所面临的新问题的有益启示等。尽管在小学数学教学中我们也

4、可找到类比的诸多应用，但同时又应清楚地看到这样一点：相对于简单的比较与分类而言，类比应当说代表了更为复杂的一种思维形式。因为作为类比的对象必定是两类不同的对象，尽管在类比时也用到了比较，但我们的目的是“触类旁通”，即如何能够通过找出两类不同对象之间的类似之处从而引出一定的联想，而联想的核心就在于“求同存异”。“求同”是指，为了应用类比，我们并不需要相关对象在所有各个方面都彼此相似，而只要求两者在某一方面或在某一抽象层次上是相似的；所谓的“存异”则是指新的猜测的产生并不是简单的重复、模仿，而是一种创造性的工作，特别是在由已知事实去引

5、出新的猜测时，我们必须注意分析两者之间所存在的差异，并依据对象的具体情况作出适当的调整。正因为类比必须以一定的知识作为联想的基础，而且要用到“求同存异”这样一种相当复杂的思维形式，因此，要求小学生，特别是低年级小学生掌握这样一种思维方式是十分困难的；毋宁说，我们应首先要求学生较好地掌握简单的比较与分类。另外，以下的真实故事显然也就表明：与所谓的“集合思想”相比，要求小学生掌握分类的思想可能更为恰当。【例十】“除非它们都能站起来！”这一故事发生在20世纪60年代，当时“新数运动”作为风靡全球的一次数学教育改革运动正处于高潮之中，而其

6、核心思想就是认为应当用现代数学思想对传统的数学教育作出改造。由于集合的概念在现代数学中占据了特别重要的位置，因此，下述情况的出现就不足为奇了。一个数学家的女儿从幼儿园放学回到家中，父亲问她今天学到了什么。女儿高兴地回答道：“我们今天学了‘集合’。”数学家觉得这样一个高度抽象的概念，对于女儿这样年龄的孩子来说实在太难理解了，因此就关切地问道：“你懂吗?”女儿肯定地回答道：“懂！一点也不难。”“这么抽象的概念会这样容易理解吗?”听了女儿的回答，作为数学家的父亲仍然放心不下，因此又追问道：“你们的老师是怎么教你们的?”女儿回答道：“老师

7、先让班上所有的男孩子站起来，然后告诉大家这就是男孩子的集合；她又让所有的女孩子站起来，并说这是女孩子的集合；接下来，又是白人孩子的集合、黑人孩子的集合……最后，教师问全班：‘大家是否都懂了?’她得到了肯定的答复。”显然，这个教师所采用的教学方法并没有什么问题，甚至可以说相当不错。因此，父亲就决定用以下的问题作为最后的检验：“那么，我们是否可以将世界上所有的匙子或土豆组成一个集合?”女儿迟疑了一会，最终作出了这样的回答：“不行！除非它们都能站起来！”基于同样的认识，笔者以为，要小学生掌握函数思想、极限思想也有点高不可攀；毋宁说，即使

8、就小学高年级学生而言，帮助他们初步理解变化的思想与无限的思想恐怕才真正可行。以下再转向如何进行数学思维教学的问题，特别是如何用思维方法的分析带动具体知识内容的教学，对此也可先来看一个实例。【例十一】少年时代的高斯如何很快求得1+2+3+……+99=