梯形常见计算题型解密-

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1、梯形常见计算题型解密梯形是一种特殊的四边形，而利用梯形的知识进行有关的计算则是梯形中遇到的常见题型.处理梯形的计算问题必须把几何知识与代数知识有机的结合在一起，充分发挥数形结合的作用，必要时要综合利用梯形和其它的知识构造出方程求解，那么涉及梯形常见的计算题型有哪些呢？下面简单地归类说明，供同学们学习梯形的知识参考.一、计算角度的大小问题例1　在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，∠A＝60°，BD⊥AD.求∠DBC和∠C的大小.分析　依据题意可以画出如图1，由已知条件可知梯形ABCD是等腰梯形，且底角为60°，对角线与腰垂直，于是再利用三角形内角和等于180°即可求解.

2、解　如图1，梯形ABCD中，因为DC∥AB，∠A＝60°，所以∠ADC＝120°，又因为BD⊥AD，所以∠ADB＝90°，即∠ABD＝30°，而AD＝BC，所以∠ABC＝60°，∠C＝∠ADC＝120°，所以∠DBC＝30°.答　∠DBC和∠C的大小分别是30°和120°.D图3ABCED图2AFBCE图1ADCB二、计算线段的长度问题例2　如图2，已知梯形ABCD，上底AD＝12，下底BC＝28，EF∥AB分别交AD、BC于点E、F，且将梯形分成面积相等的两部分.试求BF的长.　　分析　已知梯形被EF分成两部分，且一部分是平行四边形，而另一部分仍然是梯形，这两个部分的高是

3、相等，此时可以设BF＝x，则FC＝28－x，则由面积相等构造出方程求解.解　设BF＝x，则FC＝28－x.又设AD与BC间的距离为h，即梯形和平行四边形ABFE的BF边上的高为h.在梯形ABCD中，因为AD∥BC，EF∥AB，所以四边形ABFE是平行四边形，所以AE＝BF＝x，DE＝12－x.因为平行四边形ABFE的面积＝BE×h，梯形EFCD的面积＝(DE+FC)×h，-5-所以x×h＝[(12－x)+(28－x)]×h，解得x＝10，答　BF的长为10.三、确定梯形某边的取值范围例3　已知梯形上底长为2，下底长为5，一腰长为4.求另一腰的取值范围.分析　可依据题意画出如

4、图3，此时不妨设AD＝2，BC＝5，CD＝4，若要求另一腰AB的范围，只需将此转化到某一个三角形中来，于是可以利用梯形常用的辅助线，即平移一腰，则过点A作AE∥CD交BC于点E，这样再利用三角形的三边关系定理即可求得.解　如图3，由已知条件设AD＝2，BC＝5，CD＝4，过点A作AE∥CD交BC于点E，因为AD∥BC，所以四边形AECD是平行四边形，所以EC＝AD＝2，AE＝DC＝4，所以BE＝3，在△ABE中，由三角形的三边关系定理，得AE－BE＜AB＜AE+BE，所以4－3＜AB＜4+3，即1＜AB＜7.答　另一腰的取值范围是大于1而小于7.四、求梯形的周长例4　如图4

5、，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝AB＝2，且BD＝CD，求梯形ABCD的周长.分析　要求梯形ABCD的周长，已知，AD＝AB＝2，只要根据条件求出BC和CD的长即可.解　因为AD∥BC，∠B＝90°，AB＝AD，所以∠A＝∠ABC＝90°，∠ABD＝∠ADB＝∠DBC＝45°.又BD＝CD，所以∠BDC＝90°.在RtΔABD中，因为AD＝AB＝2，所以由勾股定理，得BD＝＝2，而BD＝CD，所以CD＝2，Rt△BDC中，由勾股定理，得BC＝＝4.即AB+BC+CD+AD＝2+4+2+2＝8+2.答　梯形ABCD的周长是8+2.图5BADC图4CBDA-

6、5-五、求图形的面积问题例5　如图5，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC⊥BD，且AC＝4，BD＝5，求梯形的面积.分析　考虑对角线互相垂直，可以利用梯形的一种常见辅助线，即添加梯形对角线的平行线构造□BDCE和Rt△ACE.解　过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E.因为AB∥CD，所以四边形BDCE为平行四边形.因此CE＝BD＝5，BE＝DC.又因为C到BE的距离等于A到CD的距离，所以△ACD的面积＝△BEC面积.从而梯形ABCD的面积＝△AEC的面积.因为AC⊥BD，CE∥BD，所以AC⊥CE，即△AEC的面积＝×AC×CE＝×4×5＝10.答　梯形ABCD的

7、面积是10.　　六、探索实际问题例6　用20米的篱笆可以围成一个面积为25平方米的正方形园地，如果用20米长的篱笆围成一个三边相等且对角线和腰互相垂直的等腰梯形，试问：这个等腰梯形的面积比正方形的面积小多少平方米？　　分析　只要求出等腰梯形的面积即可解答问题.解　如图6，因为AD∥BC，且AB＝AD，所以∠ABD＝∠ADB＝∠CBD.而∠ABC＝∠C，所以∠CBD＝∠ABC＝∠C.而∠BDC＝90°，即∠CBD＝30°.所以∠C＝60°，所以BC＝2CD.　　又BC+CD+DA+AB＝20(米)，所以5CD＝20(