整式乘法中的思想方法

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1、www.czsx.com.cn整式乘法中的思想方法学习整式的乘法应注意以下几种常见的数学思想方法的运用：一、化归思想例1　计算：(a－b)(a2+ab+b2).分析　先将其转化为多项式乘以单项式，再将其转化为单项式乘以单项式，此时利用单项式乘以单项式的法则和幂的运算法则化简.解　(a－b)(a2+ab+b2)＝a(a2+ab+b2)－b(a2+ab+b2)＝a·a2+a·ab+a·b2－b·a2－b·ab－b·b2＝a3－b3.说明　本题在计算过程，实施的一步一步地转化，最终化归到单项式乘以单项式，事实上，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项“遍乘”另一个多项式的每一项，再把所得

2、的积相加，但要注意系数和符号的变化.二、方程思想例2　若多项式(x2+mx+n)(x2－3x+4)展开后不含x3项和x2项.试求m，n的值.分析　由于多项式(x2+mx+n)(x2－3x+4)展开后不含x3项和x2项，就是说x3项和x2项的系数为0，所以令多项式(x2+mx+n)(x2－3x+4)展开后中x3项和x2项的系数为0即求.解　(x2+mx+n)(x2－3x+4)＝x4+(m－3)x3+(n－3m+4)x2+(4m－3n)x+4n，因为展开后不含x3项和x2项，所以有m－3＝0且n－3m+4＝0，解得m＝3，n＝5.说明　本题利用整式乘法运用中不含某些项，得到系数为0，从而构

3、造出方程求解.三、整体思想例3　化简并求值：[(a+b+1)(a+b－1)]·[(a+b－2)(3－b－a)].其中a＝－1，b＝2.分析　本题若用常规的方法采取“遍乘”的办法化简，显然运算量较大，但考虑其结构特点，视(a+b)为一个整体，可降低运算的难度和运算量.解　[(a+b+1)(a+b－1)]·[(a+b－2)(3－b－a)]-3-www.czsx.com.cn＝－·[(a+b)(a+b－1)+1×(a+b－1)][(a+b)(a+b－3)－2(a+b－3)]＝－[(a+b)2－(a+b)+(a+b)－1][(a+b)2－3(a+b)－2(a+b)+6]＝－[(a+b)2－1]

4、[(a+b)2－5(a+b)+6]＝－{(a+b)2[(a+b)2－5(a+b)+6]－1×[(a+b)2－5(a+b)+6]}＝－[(a+b)4－5(a+b)3+6(a+b)2－(a+b)2+5(a+b)－6]＝－[(a+b)4－5(a+b)3+5(a+b)2+5(a+b)－6].因为a＝－1，b＝2，所以a+b＝1，所以当a+b＝1时，原式＝－[14－5×13+5×12+5×1－6]＝0.说明　本题既运用了整体思想进行化简，又运用了整体代入求值.四、数形结合思想例4　袁老师要贝贝用一张纸片制作成一个如图②形状的图案.贝贝是这样做的：先画一条线段AC，如图①，再以AC为直径画圆，O是

5、它的圆心，并剪下这个圆，然后在AC上找一点B，再分别以AB、BC为直径画圆，然后用剪子或其它工具挖去这两个圆，即以O1、O2为圆心的圆，再通过适当的剪裁，就可以得到图②.如果被你挖去两个圆中，小圆的半径（即AO2）比大圆的半径（即CO1）小1cm，请你比较余下部分的面积（即图①中阴影部分的面积）和被挖去部分的面积（即两个小圆的面积的和）的大小.②①分析　要求其解，现在的关键是要能分别求出余下的图形面积和挖去的两个圆的面积，然后再比较各自的大小.解　设小圆的半径AO2＝r，则大圆的半径CO1＝r+1，外面的最大圆的半径则为r+r-3-www.czsx.com.cn+1＝2r+1，所以图中

6、小圆的面积＝πr2，大圆的面积＝π(r+1)2，小圆和大圆的面积之和＝πr2+π(r+1)2，而图中外面最大圆的面积＝π(2r+1)2，所以图中阴影部分的面积＝π(2r+1)2－[πr2+π(r+1)2]＝4πr2+4πr+π－πr2－πr2－2πr－π＝2πr2+2πr，而图中阴影部分的面积－小圆和大圆的面积之和＝2πr2+2πr－πr2－π(r+1)2＝2πr2+2πr－πr2－πr2－2πr－π＝－π＜0，所以图中阴影部分的面积＜小圆和大圆的面积之和.说明　本题在分别计算出图中阴影部分的面积与小圆和大圆的面积之和之后，采用了作差法进行比较.-3-