中考中折叠型问题解析

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1、edu.northeast.cn中考中折叠型问题解析江苏省淮安市楚州区文通中学周立元图形的折叠问题是图形变换的一种，主要是考查学生的自主探索能力与空间想象能力以及判断推理能力。有关折叠问题在近几年各地中考中也频频出现，有利用折叠寻找折痕条数规律的、有图形折叠后求折痕长度的、有图形几次折叠后再剪裁并判断剪裁后图形形状的等等。解决折叠问题，首先要对图形折叠有一准确定位，把握折叠的实质；其次还要分清折叠前后哪些元素没变，哪些元素变化了；同时还要把握折叠的变化规律，运用所学知识合理、有序、全面的解决问题。下面以近两年中考试题为例说明。一、折叠后探索规律例1.（2004年湖北十堰市）有一

2、个等腰直角三角形纸片，以它的对称轴为折痕，将三角形对折，得到等腰直角三角形（如图1），依照上述方法将原等腰直角三角形折叠四次，得到的小等腰直角三角形的周长是原等腰直角三角形周长的（）图1A.B.C.D.分析：本题可以设原来等腰直角三角形的三边长为a，a，，那么周长为，经过一次折叠后的等腰直角三角形与原等腰直角三角形是相似的，且相似比为；则它们的周长比也为，因此经过一次折叠后的小等腰直角三角形的周长是折叠前的等腰直角三角形的周长的，由此可知经过四次折叠后的小等腰直角三角形的周长是原等腰直角三角形的周长的。故选B。解（略）评注：edu.northeast.cn本题主要利用等腰直角三

3、角形的特殊性，沿对称轴折叠后的图形与原图形相似的特征，每次折叠后的图形与前一个图形的相似比都是。我们还可以知道，经过n次折叠后图形的周长是原图形的周长的。例2.（2005年余姚市）将一张长方形的纸对折，如图2所示，可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到________条折痕，如果对折n次，可以得到_________条折痕。图2分析：本题是通过折叠次数的变化来研究折痕变化的规律题型，第一次对折有一条折痕，第一次对折后纸有两层，第二次对折已有的两层各有一条折痕，再加上原有的一条折痕共有1＋2＝

4、3＝22－1条折痕，两次对折后纸共有4层，第三次对折后在3条折痕的基础上又增加了4条折痕，则此时共有1＋2＋4＝7＝23－1条折痕，由此可知第四次对折后共有24－1＝15条折痕，第n次对折共有（）条折痕。评注：本题利用由特殊到一般的方法，寻求对折后折痕的条数的变化规律，要从对折的结果去分析对折过程中纸的层数的变化，再从纸的层数的变化去总结折痕的变化规律。二、折叠后求折痕长度例3.（2005年宿迁市）如图3，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是（）图3edu.northeast.cnA.B.C.D.2分析：图中EF是折痕，点C与点A重

5、合，因此EF垂直平分AC，可设EF与AC的交点为O，易证EO＝FO，AO＝CO，所以要求EF长只要求OE或OF的长，我们可通过△AOF∽△CBA，求AO的长，从而求出EF的长。解：连结AC、EF交于点O∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC∴△ABC是直角三角形∵AB＝4，BC＝8，∴∵EF是折痕，C点与A点重合∴EF垂直平分AC∴，∴∠B＝∠AOF＝90°∵AF＝CF，∴∠FAO＝∠ACB∴△AOF∽△CBA，∴∴∴EF＝2OF＝。故选D。评注：本题利用化归的思想，把所求的线段转化到直角三角形中去处理，把折叠问题转化为轴对称问题，最后利用相似的性质求出未知线段。三、求折叠后图形

6、的边或角的关系例4.（2004年荆州市）如图4，一张长方形纸片ABCD，其长AD为a，宽AB为b（a＞b），在BC上选取一点M，将△ABM沿AM翻折后B到B'的位置，若B'为长方形纸片ABCD的对称中心，则的值是____________。edu.northeast.cn图4分析：△ABM沿AM翻折后，点B与点B'重合，则AB＝AB'，由于点B'为长方形纸片ABCD的对称中心，由矩形的性质可知AB'＝BB'，则AB＝AB'＝BB'，所以△ABB'为等边三角形，因此∠BAB'＝60°，∠B'AD＝30°，则△ADC为含30°角的直角三角形，它的两直角边之比为：1，所以。解：略。评注

7、：折叠问题中通常利用折叠前后对应线段或对应角相等来处理，本题还巧妙运用点B'是矩形的对称中心，从而构造出等边三角形和直角三角形，最后把a：b转化成求直角三角形的两直角边之比。例5.（2004年浙江金华）一张矩形纸片对折（如图5），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（）图5A.三角形B.矩形C.菱形D.梯形分析：图形①是一个三角形，向左放开是一个等腰三角形，再向下放开是以等腰三角形的底为对称轴的轴对称图形，上下是两个全等的等腰三角形所构成的图形，因此是一个四边