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1、基于Rosenbrock法的岩土工程可靠度计算【摘要】基于可靠度指标的最优化算法，采用Rosenbrock法进行规划求解，通过实例给出了Rosenbrock法确定可靠度指标的实现方法。算例表明，该方法准确可行，对处理非线性极限状态函数的可靠度计算问题具有较大的工程应用价值。【关键词】可靠度指标；优化算法；岩土工程；Rosenbrock法中图分类号：U462文献标识码：A0引言7由于岩土工程的复杂性及其参数的随机性，传统的确定性计算方法不能更好地解决岩土工程问题，而不确定方法更能合理地解决这一问题。在岩土工程可靠度分析中，由于岩土是一
2、种高度非线性材料，相应的状态方程往往是非线性的，传统的可靠度计算方法，如中心点法，JC法等，当考虑因素比较多时，极限状态函数往往变得难以处理，特别是岩土工程中用到的某些三角函数相当复杂，对其微分常会遇到麻烦。蒙特卡罗法不受极限状态函数的限制，然当为小概率事件时，计算量太大。因此笔者以文献[1]所提出的可靠度指标的最优化算法为理论基础，应用Rosenbrock法求解可靠度指标，该方法采用Matlab编程实现，计算工作直观，分析简洁，提高了计算效率。并通过与文献中的一个算例的对比分析，验证了该方法的可靠性。1可靠度指标计算及几何意义[2
3、~4]JC法是国际结构安全度联合会(JCSS)推荐的一种方法。其实质简述为：设随机变量满足方程:Z=G(x1,x2,…xn)=0……(1)式（1）称为极限状态方程，为状态函数。当状态函数与多个正态基本变量有关时，式（1）代表以基本变量为坐标的维欧氏空间的一个曲面，将状态函数在实验点处展开为泰勒级数，取一次项，则可导出下列一组方程式：(2)(3)(4)式中：，分别为变量的均值及标准差。解非线性方程组(2)～(4)，可求得可靠度指标的值。从可靠度分析的一次二阶矩理论可知，对于独立正态分布的变量，在极限状态方程为线性时，可靠度指标在标准正
4、态坐标系中等于原点到极限状态平面(或直线)的最短距离。Shinozuka已经证明：如果失效面的某点至坐标原点的距离是失效面上所有各点至坐标原点的最短者，则该点就是最可能的失效点。可以证明该距离就是可靠度分析的一个重要指标――可靠度指标[5,6]。如图1：7图1在标准正态系中可靠度指标的几何图解法图中为原坐标系，为标准化后的新坐标系，它们之间的换算关系为：其σR中µR，σR，µS，σS分别为和的均值和标准差，式(5)就是所谓的标准化过程可靠度指标β=ŌP，P点被称为设计试验点，满足极限状态方程，是失效
5、边界上与结构最有可能失效的概率对应的点。若极限状态方程有多个变量时，即将各正态变量标准化：于是方程就转化为标准正态坐标中的形式：此时可靠度指标仍为标准正态坐标系中原点到极限状态面的最短距离，即：综上所述，可靠度指标的计算可以转化为求原点到极限状态曲面的最短距离。根据这一特点，我们可以采用最优化方法进行可靠度的计算。2可靠度指标的数学模型从一般的情况出发，设有n个任意分布的独立的随机变量影响可靠度指标，极限状态函数为:Z=G(x1,x2,…xn)=0……(11)按上述原则应先将非正态分布变量当量正态化，根据在验算点上分布函数相等的条件
6、得：7(12)由在验算点上密度函数相等的条件得：(13)式中：ф-1（）为标准正态分布函数的反函数，φ-1（）为标准正态的分布密度函数。于是将χiф标准化后，得到可靠度指标标准正态空间的优化数学模型：3Rosenbrock法求解可靠度指标3.1Rosenbrock法简介[5~6]Rosenbrock法是一种转轴法，其基本思想是在当前点构造n个正交方向，然后在每个方向进行探测移动，找到函数值下降最快的方向，移动某个步长，再在新的点构造新的n个正交方向，如此循环，这个过程如图2所示。图2Rosenbrock法的计算示意图在图2中，假设χ
7、k为初始点，则初始正交方向就可以取为坐标轴方向，通过搜索得到下个可行点χk+1，然后在点χk+1处重新建立正交的搜索方向，如此搜索下去。3.2Rosenbrock法求解可靠度指标的步骤（1）给定初始点χ0（通常取各随机变量的均值点），n个标准正交化的初始向量组{d0,d1,…,dn}，初始步长δ0=(δ10,δ20,…,δn0)>0，增大系数βϵ（0,1）及精度ε>0，置k=0；7（2）令y=xk；（3）约束条件处理。当极限状态函数中的其中一个随机变量能被其他变量表示时，即：xi=f(x1,x2,…,xi-1,xi+1,
8、…xn)。反之，使用罚函数进行约束条件处理。（4）从y出发，依次作平行于矢量组{d0,d1,…dn}0的反复轴向探测移动；若f(y=δjkdj)≤f(y)，则令y=y+δjkdj,δjk=αδjk；若f(y+δjkdj)>f(y)，则
