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《2016新编常用求极限方法的探索与总结》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、论文题目：————————学院：——————————专业班级：——————————姓名：——————————学号：——————5常用求极限方法的探究与总结摘要：求数列和函数极限是高等数学中的一个重点也是难点。题目类型不同，解题方法就可能不一样。根据本学期所学内容，本文将会探索和总结一些求极限的常用方法。关键词：极限夹逼定理等价无穷小海涅定理泰勒公式拉格朗日中值定理正文：一.用极限定义证明某一极限的正确性例1证明极限：limx→∞sinxx=0解：∀ε>0,由sinxx-0≤1x<ε,可得
2、x
3、>1ε,因此取X=1ε,则当
4、x
5、>X时，有sinxx-0<ε,由ε-X定义，极限为0二
6、．利用四则运算法则极限的四则运算法则是求极限的基础例2求极限：limx→12x+1x2+x+1解：=limx→12x+1limx→1x2+x+1=2limx→1x+1limx→1x2+limx→1x+1=1三．利用夹逼定理求极限例3求极限：limn→∞n1+2n+3n解：因为n3n≤n1+2n+3n≤n3∙3n即3≤n1+2n+3n≤3∙n3因为limn→∞3=3,limn→∞3∙n3=3由夹逼定理可知极限为3此方法适合于求递推数列极限例3设x1=a>0,xn+1=12xn+axn且（n=1,2….）证明limn→∞xn存在并求出极限解：xn+1=12xn+axn≥xn∙axn=
7、axn+1=12xn+axn=xn2+a2xn≤12∙xn2+xn2xn=xn所以当n≥2时，数列是单调递减有下界的数列5设极限为A在原式两边取极限得A=12A+aA得A=a另一根不符合故舍去五.利用两个重要极限（1）利用limx→0sinxx=1计算三角函数未定式极限例4求极限：limh→0htanh解:limh→0htanh=limh→0hsinh∙cosh=limh→0hsinh∙limh→0cosh=1（2）利用limx→∞1+1xx计算形如fxgx的幂指函数极限例5求极限：limx→∞1+x2+xx=limx→∞1+-1x+2x+2-1∙-1.1+-1x+2-2=1e六
8、.利用等价无穷小代换及无穷小的性质几种常见的等价无穷小：n1+x-1~xn,sinx~x,tanx~x,1-cosx~x22,sin-1x~x,ex-1~xx趋近于0例6limx→0ln1+2xsin3x=limx→02x3x=23例7limx→∞xe1x-1=limx→∞x.1x=1注意：求极限时，无穷小因子可用等价无穷小换以简化极限计算，但是要注意，和，差运算时不能对某一项进行这种代换。七.应用收敛数列和海涅定理利用数列收敛与子列收敛关系定理，函数极限与数列极限的关系的海涅定理说明不存在，用海涅定理及函数极限求数列极限例如，数列an=-1n-1,(n=1,2…).奇子列a2n
9、-1=1,偶子列a2n=-1,显然，前者极限为1，后者极限为-1，所以原数列极限不存在。由海涅定理的必要性，可借助函数极限求数列极限。由海涅定理的充分性，能把数列极限的结论转移到函数极限上来，海涅定理提供了一种说明函数极限不存在的方法。例8讨论极限limx→0sin1x解：取xn=12nπ,xn'=12nπ+π2,则当n→∞,时，xn→0,xn'→0,而fxn=sin2nπ=0,后者等于1，因此该函数极限不存在八．利用复合函数连续性若f在x0处连续，则计算limx→x0fx相当于计算fx0,特别的，当limx→x0ux=A>0,limX→X0vx=B,则limx→x0uxvx=A
10、B例9limx→0ln1+xx=limx→0ln1+x1x=lnlimx→01+x1x=1例10limx→0ax-1x5解：令ax-1=y,并代入原式得limy→0ylnaln1+y=lna注意：三角函数及反三角函数在其定义域内是连续的，指数函数ex在其定义域内连续，其反函数y=lnx在其定义域内连续，一般的，指数函数及对数函数在其定义域内连续九.利用洛必达法则在第一章进行极限的运算时，遇到过许多无穷小之比或无穷大之比的极限。这些类型的极限可能存在，也可能不存在。关于这类0比0型未定式和无穷比无穷型未定式，我们可以将limfxgx的问题转化为limf'xg’x的形式进行计算，即罗
11、比达法则0比0型和无穷比无穷型是基本类型，其他类型可转化成这两个类型，比如0乘以无穷型可取倒数进行转化，无穷减无穷型可通分转化，0的0次幂型和1的无穷次幂型可根据对数函数和指数函数的性质进行转化例11求极限：limx→0+xx解：原式=limx→0+exlnx=limx→0+elnx1x=elimx→0+-x=1注意：有时候，可以间接使用洛必达法则，也可以连续用多次罗比达法则，也可以先用无穷小量代换，再使用洛必达法则例12求数列极限：limn→∞nn解：由于nn=n1n,函数x1
