线性代数重难点大纲

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1、绪论从高科技本质上就是数学技术到CT技术到数学应用到数学建模到黑客帝国2的矩阵母。工程数学之线性代数《线性代数》主要讲述矩阵的初步理论及其应用，包括矩阵的代数运算；矩阵的秩与初等变换；矩阵的特征值、特征向量与相似，以及线性方程组和二次型。n维向量空间相关性理论则是本课程的难点所在。全书各部分以线性空间与线性变换为主线，逐渐阐述欧氏空间的理论，使学生掌握线性代数的基本理论与方法，一方面为学生学习相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的基础，另一方面培养学生建立数学模型解决实际问题的能力。第一章行列式内容概述：行列式是线性代数中的一个重要概念。本章从二、三元

2、方程组的解的公式出发，引出二阶、三阶行列式的概念，然后推广到n阶行列式，并导出行列式的一些基本性质及行列式按行（列）展开的定理，最后讲用行列式解n元方程组的克拉默法则。第一节行列式的定义和性质教学目的：复习二阶、三阶行列式的概念，了解逆序概念，掌握到n阶行列式定义和性质。重点难点：n阶行列式定义和性质教学过程：一、复习二阶、三阶行列式的概念1．二阶行列式　我们从二元方程组的解的公式，引出二阶行列式的概念。　在线性代数中，将含两个未知量两个方程式的线性方程组的一般形式写为（1），用加减消元法容易求出未知量x1，x2的值，当时，有（2）：　　　　　（1）　（

3、2）这就是二元方程组的解的公式。但这个公式不好记，为了便于记这个公式，于是引进二阶行列式的概念。　　我们称记号（3）为二阶行列式，它表示两项的代数和：　　（3）即定义（4）　二阶行列式所表示的两项的代数和，可用下面的对角线法则记忆：从左上角到右下角两个元素相乘取正号，这条连线为主对角线；从右上角到左下角两个元素相乘取负号，这条连线为副对角线（或次对角线），即：　　由于公式（3）的行列式中的元素就是二元方程组中未知量的系数，所以又称它为二元方程组的系数行列式，并用字母D表示；如果将D中第一列的元素a11，a21换成常数项b1，b2，则可得到另一个行列式，用

4、字母D1表示，按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：，这就是公式（2）中x1的表达式的分子。同理将D中第二列的元素a12，a22换成常数项b1，b2，可得到另一个行列式，用字母D2表示，按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：a11b2-b1a21，这就是公式（2）中x215的表达式的分子。于是有　　　于是二元方程组的解的公式又可写为2.三阶行列式　　含有三个未知量三个方程式的线性方程组的一般形式为　　　　　　（1）　　还是用加减消元法，即可求得方程组（1）的解的公式，当　　　　　　　　　时，有（2）　　这就是三元方程组的解的公式。这个公式更不好记，为

5、了便于记它，于是引进三阶行列式的概念。我们称记号　　　　　为三阶行列式。三阶行列式所表示的6项的代数和，也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号，从右上角到左下角三个元素取负号，即　　　（3）　　　　　　　　　　由于公式（3）的行列式中的元素是三元方程组中未知量的系数，所以称它为三元方程组的系数行列式，也用字母D来表示。同理将D中第一列、第二列、第三列的元素分别换成常数项就可以得到另外三个三阶行列式，分别记为于是有　　　　　　　　　　　　　　　　　按照三阶行列式的定义，它们都表示6项的代数和；并且分别是公式（2）中x1，x2，x3的表达式

6、的分子，而系数行列式D是它们的分母。15于是三元方程组的解的公式又可写为，其中D≠0例1：计算解：二、排列、逆序数与对换　　1．排列　　定义（排列）：由n个不同的元素1,2,3,…,n排成的任一有序数组，称为这n个元素的全排列，简称排列。N个元素排列的总数为n!个.　　2．逆序定义：我们将n个不同的自然数从小到大规定为标准次序，如12345。在一个排列p1p2...pn中，如果有某个较大的数it排在较小的数is的前面，就称排列有一个逆序。例如在12354中，较大的数5排在较小的数4之前，就称排列有一个逆序或5与4为一个逆序。一个排列p1p2...pn中逆

7、序的总数，称为此排列的逆序数，记为N(p1p2...pn)。例如N（12345）=0，N（12354）=1N（13254）=2求一个排列p1p2...pn的逆序数的方法是：　　法1：先求第一个元素p1的逆序数N1即前面有几个比它大的数，再求第二个元素p2的逆序数N2，…，最后求第n个元素pn的逆序数Nn，将它们加起来即可。法2：看第一个元素p1的后面有几个比它小的数目N1，再求第二个元素p2的后面比它小的数目N2，…，最后求第n个元素pn的后面比它小的数目Nn，将它们加起来即可。法3：先看数1，看有多少个比1大的数排在1前面，记为N1,，再看有多少个比2

8、大的数排在2前面，记为N2，…，再看有多少个比n大的数排在n前面，记为Nn(=0