微积分与数学思想方法

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1、数学思想方法的解释有多种多样，其中胡炯涛《数学教学论》广西教育出版社，一书中指出数学思想方法则是数学知识发生过程中的提炼、抽象、概括和升华，是对数学规律更一般的认识，它蕴藏在数学知识之中，需要学习者去挖掘[6]。数学思想方法分为两部分，一是数学思想，二是数学方法，其中数学思想是指我们对教材中理论知识及内容最本质的认识，而数学方法是数学思想的具体化形式，运用到实际的题目中[20]。下面就具体来阐述一下微积分习题中的数学思想方法：5.1函数思想函数思想是我们在中学阶段中常见的一种思想方法，是指用函数的概念、性质、特点去分析问题、转化问题和

2、解决问题的一种思维，函数思想是一个基本的数学思想，方程，不等式问题可以在函数的观点下统一起来，数列是特殊的函数，集合论的知识作为建立函数的基础，也包括在其中[11]。在新版教材微积分的内容中，函数思想更为重要，其中一部分题目就是借助“微积分”这个工具，最后还是依据函数的基本性质去解决问题。例如：一条长为的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？[12]（新版教材人教A版选修2–2课本37页习题）解：设其中一段铁丝的长度为，则另一段为，面积为根据题意得：整理得：求导数，并令导数等于零，解得

3、：分析：这类题型在新版教材中为常见的一种题型，根据题意得到函数表达式，借助“微积分”这个工具，结合函数的性质来解决问题。当时导函数的函数值为零，这时函数取得最小值（函数的性质）。例如：有一家宾馆有50个房间共旅客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满；房间单价每增加10元，就会有一个房间空闲，如果旅客居住房间，宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用，房间定价多少时，宾馆利润最大？分析：这是一个生活中实际的问题，解决方法，根据题意列出函数表达式，我们要找到关键问题，利润是由房间数乘以房间定价让后减去房间数乘以房间维护费，所

4、以关键就是房间数，我们设房间定价为元，利润为，则对进行求导，并令导数为零，得到，即可解得利润的最大值把数学问题用函数表示出来，借助“微积分工具”去解决数学问题，这是我们常用的方法，即函数思想结合“微积分”去解决问题。特别的我们在学习了“微积分”之后，这种题型是我们常见题型及常考题型之一。5.2极限思想我们所谓的极限思想是我们微积分的基本思想之一，所谓极限思想是指：利用极限概念去分析及解决问题的一种数学思想方法。高中数学新版教材微积分虽然不学习极限理论，但是在问题解决中却处处应用了极限思想。由于中学生对极限思想已经不再陌生，早在学习求圆

5、的面积公式时就有了极限思想（刘徽的割圆术）、后来学习球的体积公式时对极限思想有了更进一步的体会。因此在导数、定积分定义的引入和导数的几何意义学习过程中，学生可以再次体会到极限思想在问题解决中的重要价值[21]。（1）我们在求一个物体的瞬时速度时，是规定在很小的时间间隔，即：时，物体的平均速度就是物体在这个时刻时的瞬时速度，即：（2）我们在解决曲边梯形面积时：我们首先把曲边梯形的面积S进行无限分割，从而就把有限变成了无限，我们把小矩形的面积用来表示，用来表示；再把小的矩形无限累加得到曲边梯形的近似值，又从无限回到有限。最终我们求得曲边梯

6、形的面积为：导数：函数在处的导数，就是此函数在此点的瞬时变化率，定积分：我们表示函数在区间上的定积分，是指将区间等分成个小区间，当时，它们的和式就无限接近的一个确定值，即（3）对于学习导数的几何意义，我们是从函数在处的切线开始的学习的，我们通过观察函数在点处的切线的变化趋势，总结得到的导数的几何意义。（4）高中新版教材“微积分”部分在解决求变速直线运动的路程，求平面图形面积、变力做功中也都应用到了极限思想。[13]5.3数形结合思想数形结合思想是我们中学解决数学问题中常用的一种思想方法。所谓数形结合是指：把比较抽象的数学符号和语言与直

7、观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合，通过直观的图像来帮助我们简化问题和解决问题，就是在研究数学问题时，由数思形、见行思数、数形结合考虑问题的一种思想方法[14]。数形结合思想往往能够帮助我们分析问题，使复杂的问题通过图像形象直观的表达出来。在新版教材中“微积分”领域的习题中比较常见，例如：求函数上的最大值与最小值。解：分析：在我们学习“微积分”之前这类问题不容易解决，但现在学习了“微积分”这个有利的“工具”就比较简单。先求函数的导函数易得令导函数等于零，得到极值点，根据函数性质画出函数的图像如图：从图形中易得函数的最大值及最

8、小值。数形结合思想更加倾向于帮助我们分析问题，了解问题的本质，这个本质是利用图像来表示出来，使得我们能够直观的观察问题的本质，从而能够更好地解决问题。例如我们在研究函数的单调性与导数的关系时，我们就是通过图形，先求得函数