专题一 排列与组合

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时间:2018-05-20

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1、专题一排列与组合应用题一、知识提要1.排列与组合应用题,是高考的常见题型,且与后面学习的古典概型问题联系密切。高考中重点考查有附加条件的应用问题,解决的方法主要从以下三个方面考虑:(1)以元素为主,特殊元素优先考虑(2)以位置为主,特殊位置优先考虑(3)间接法:暂不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合条件的情况。2.排列组合综合问题一般思路:先组合后排列,即先选元素后排列,同时注意按性质分类或按时间的发生过程分步。3.解决首先纸条的排列、组合问题的一般策略有:(1)特殊元素优先考虑安排的策略;(2)正难则反,等价转化的策略;(3)相邻问题捆绑处理策略

2、;(4)不相邻问题插空处理策略;(5)定序问题、平均分组问题除法策略;(6)“小集团”排列问题宪政体后局部策略;(7)分排问题直排处理策略;(8)构造模型的策略。二、典型问题(一)排队问题例1.4男3女坐在一排,分别求下列各种排法的种数(1)某人必须在中间(2)某两人必须站在两端(3)某人不在中间和两端(4)甲不在最左端且乙不能在最左端(5)甲乙两人必须相邻(6)甲乙两人不能相邻(7)甲乙两人必须相隔1人(8)4男必须相邻,3女也必须相邻(9)3女不能相邻(10)甲必须在乙的左边(11)4男不等高,按高矮顺序排列点评:排队问题中常分为“在和不在”、“邻与不邻”

3、、“顺序固定”等问题。变式练习:1、四个人参加一次聚会,若任意两人不同是到场,则甲比乙先到的情况有__种,若甲乙丙三人中甲先到,其次是乙,丙最后到的情况有___种。2、三名男歌手,两名女歌手联合举行一场音乐会,演出的出场顺寻要求两名女歌手之间恰有一名男歌手,不同的出场顺序有___种。3、有6名同学参加了演讲比赛,决出了第一至第六的名次,评委告诉甲,乙两位同学“你们都没有拿到冠军,但甲不是最差”则这6名同学的排名顺序有___种。(一)分组问题:1. 弄清是否为平均分租,若是平均分组,则需用除法策略       2.分组后是否需分配,若分配则需要排列.(先分组在排

4、列)例2.六本不同的书,按下列要求各有多少种不同的分法?(1)分成三堆,一堆一本,一堆二本,一堆三本。(2)平均分成三堆,每堆2本。(3)分给甲、乙、丙3人,一人一本,一人二本,一人三本。(4)平均分给甲乙丙三人,每人2本。(5)分给甲乙丙三人,每人至少1本。(二)放球问题例3.将四个编号为1、2、3、4的小球放入4个编号为1、2、3、4的盒子中。(1)有多少种放法?(2)每盒至少一球,有多少种放法?(3)恰好有一个空盒,有多少种放法?(4)每个盒内放一个球,并且恰好有一个球的编号与合资的编号相同,有多少种放法?(5)把4个不同的球改成4个相同的球,恰有一个空

5、盒,有多少种放法?(6)把4个不同的球改成20个相同的球,要求每个盒内的球数不少于它的编号数,有多少种放法?解析:(1)(2)为全排列问题,共有=24种方法(3)先将4个球分成三组,再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子(4)1个球的编号与盒子编号相同的选法有种,当1个球与1个盒子的编号相同时,用局部列举法可知其余3个球的投放方法有2种,故共有=8(种)(5)先从四个盒子中选出3个盒子,再从3个盒子中选出一个盒子放入两个球,余下的两个盒子各放一个,由于球是相同的即没有顺序,所以属于组合问题,故共有=12(种)放法。(6)(隔板法)先将编号1、2、3、4的4个盒子

6、分别放入0、1、2、3、个球,再把剩下的14个球分成四组,即在14个球的中间13个空挡种放入三块隔板,共有=286种。例4.(1)一条长椅上有9个座位,3个人坐,若相邻的2人之间至少有2个空位,共有几种不同的坐法?(2)一个长椅上共有7个座位,4人坐,要求3个空位中恰有2个空位相邻,有多少种不同的坐法?注意:空位是相同的元素,无顺序的。解析:(1)先将3人(用表示)与4张空椅子(用表示)排列如图,这时共占据了7张椅子,还有2张空椅子分为两类,(一)分开插入如图中箭头所示,从4个空挡中选出2个插入,有种插法,(二)是2张绑在一起同时插入,有种插法。再考虑3人可交

7、换有种方法。共有=60(种)(2)(插空法)〔点评〕解决组合应用题的总体思路是:(1)整体分类,从集合的意义讲,分类要做到各类的并集等于全集,以保证分类的不遗漏,任意两类的交集等于空寂,以保证分步的不重复。(2)局部分步,整体分类以后,对每一类进行局部分步,分步要做到步步连续,以保证分步的不遗漏,同时步骤要独立,以保证分步的不重复。(3)辩证地看待“元素”与“位置”。元素和位置是解题者视具体情况而定的,比如有时把人看做“位置”,而作为看做“元素”,问题更容易解决。(4)注意要理解题设中的“有且仅有”、“至多”、“至少”、“全是”、“都不是”、“不都是”等词语的

8、确切含义,常用逆向思维、等价转化、“间

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