量 子 力 学 习 题 钱

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1、量子力学习题第一章绪论1.1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长lm与温度T成反比，即lmT=b(常量）；并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。1.2在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。1.3氦原子的动能是E=3kT/2（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。1.4利用玻尔－索末菲的量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。已知外磁场H=10特斯拉，玻尔磁子MB=9×10-24焦耳/特斯拉，试计算动能的量子化间隔DE，并与T=4K及T=100K的热运动能量相

2、比较。1.5两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？第二章波函数和薛定谔方程2.1由下列两定态波函数计算几率流密度：(1)y1=eikr/r,(2)y2=e-ikr/r.从所得结果说明y1表示向外传播的球面波，y2表示向内（即向原点）传播的球面波。2.2一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的波函数。2.3求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。2.4一粒子在一维势阱中运动，求束缚态(0

3、力学结果比较。2.6粒子在势场中运动，求存在束缚态(E<0)的条件(，m，a，V0关系)以及能级方程。2.7求二维各向同性谐振子[V=k(x2+y2)]的能级，并讨论各能级的简并度。2.8粒子束以动能E=从左方入射，遇势垒求反射系数、透射系数。EV0情形分别讨论。2.9质量为m的粒子只能沿圆环（半径R）运动，能量算符，j为旋转角。求能级(En)及归一化本征波函数yn(j)，讨论各能级的简并度。第三章基本原理3.1一维谐振子处在基态，求：(1)势能的平均值；(2)动能的平均值；(3)动量的几率分布函数。3.2设t=0时，粒子的状态为y(x)=A[sin2k

4、x+coskx]，求此时粒子的平均动量和平均动能。3.3在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数y(x)=Ax(a-x)描写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。3.4证明：如归一化的波函数y(x)是实函数，则=i/2；如y=y(r)（与q，j无关），则=-3/2。3.5计算对易式[x,Ly]，[pz,Lx]，并写出类似的下标轮换式(x®y,y®z,z®x)。3.6证明算符关系3.7设F为非厄米算符(F+¹F)，证明F可以表示成A+iB的形式，A、B为厄米算符。求A、B与F、F+之关系。3.8一维谐振子(V

5、1=kx2)处于基态。设势场突然变成V2=kx2，即弹性力增大一倍。求粒子在V2场中的能级以及此粒子在新势场的基态中出现的几率。3.9有线性算符L、M、K，[L,M]=1，K=LM。K的本征函数、本征值记为yn、ln(n=1,2,...)。证明：如函数Myn及Lyn存在，则它们也是K的本征函数，本征值为(ln±1)。3.10证明：如H=/2m+V()，则对于任何束缚态<>=0。3.11粒子在均匀电场中运动，已知H=/2m-qex。设t=0时=0，=p0，求(t)，(t)。3.12粒子在均匀磁场=(0,0,B)中运动，已知H=/2m-wLz，w=qB/2mc。设t=0

6、时<>=(p0,0,0)，求t>0时<>。3.13粒子在势场V()中运动，V与粒子质量m无关。证明：如m增大，则束缚态能级下降。第四章中心力场4.1证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是Jer=Jeq=0,Jej=-。4.2由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。(1)求一圆周电流的磁矩。(2)证明氢原子磁矩为原子磁矩与角动量之比为这个比值，称为回转磁比率。4.3设氢原子处于状态求氢原子能量、角动量平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。4.4利用测不准关系估计氢原子的基态能量。4.5对于类氢离子的基

7、态y100，求概然半径（最可几半径）及。4.6对于类氢离子的ynlm态，证明=-=-En。4.7对于类氢离子的基态y100，计算Dx,Dpx，验证不确定关系。4.8单价原子中价电子（最外层电子）所受原子实（原子核及内层电子）的库仑作用势可以近似表示成试求价电子能级。与氢原子能级比较，列出主量子数n的修正数公式。[提示：将V(r)中第二项与离心势合并，记成，计算()之值，...]。第五章表象理论5.1设

8、yn>，

9、yk>是厄米算符的本征态矢，相应于不同的本征值。算符与对易。证明

10、F

11、yn>=0。5.2质量为m的粒子在势场V(x)中作一维运动，设能