10泰勒展开式下的高考试题

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1、[中国高考数学母题一千题](第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)泰勒展开式下的高考试题三类函数不等式的来源多项式函数是最简单的函数,用多项式函数逼近其它函数(如超越函数)是微分学,甚至是数学的精义所在,也是泰勒展开式产生的背景;泰勒展开式是高考命题的有力工具,许多高考试题直接来自于泰勒展开式.[母题结构]:(基本函数的泰勒展开式):①ex=1+++…++eθx(其中0<θ<1);②ln(1+x)=x-+-…+(-1)n-1+(-1)n()n+1;③sin

2、x=x-+-…+(-1)k-1+(-1)kcosθx;④cosx=1-+-…+(-1)k-1+(-1)kcosθx.[母题解析]:在中学范围内,以上结论没必要证明,因为不能直接引用;我们关心的是泰勒展开式在解决高考试题中的作用(不是直接引用),当

3、x

4、充分小时,泰勒展开式中的前几项占主导地位,而后面的项对函数值的贡献可忽略不计,由此思想,我们可以通过去掉泰勒展开式中的“零头”,得到相关不等式,这样不仅可以探明一些不等式的来源,而且可为解决一些不等式恒成立问题指明方向.1.指数函数的展开式子题类型Ⅰ

5、:(2010年课标高考理科试题)设函数f(x)=ex-1-x-ax2.(Ⅰ)若a=0,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.[解析]:(Ⅰ)当a=0时,由f(x)=ex-1-x(x)=ex-1,由此列表,由表知,f(x)在(-∞,0)上递减.在(0,+∞)上递增;(Ⅱ)由ex=1+++eθx(其中0<θ<1)当x≥0时,ex≥1++=1+x+x2;由此可先证:ex-1-x-x2≥0:令g(x)=ex-1-x-x2(x≥0),则(x)=ex-1-x,由(Ⅰ)知,(x

6、)在[0,+∞)上单调递增(x)≥(0)=0g(x)在[0,+∞)上单调递增g(x)≥g(0)=0当a≤时,f(x)=ex-1-x-ax2≥ex-1-x-x2≥0成立;当a>时,(x)=ex-1-2ax(x)=ex-2a(x)在(0,ln2a)上单调递减当0

7、规的),并由此猜测出参数的取值范围,然后证明参数不在此范围内时,不符合题意,故可得参数的取值范围.2.对数函数的展开式子题类型Ⅱ:(2015年北京高考试题)已知函数f(x)=ln.(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(Ⅱ)求证:当x∈(0,1)时,f(x)>2(x+);(Ⅲ)设实数k使得f(x)>k(x+)对x∈(0,1)恒成立,求k的最大值.[解析]:(Ⅰ)由f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)f(0)=0,(x)=+(0)=2切线:y=2x;(Ⅱ)由ln(1+x)=x

8、-+-…+(-1)n-1+…ln(1+x)=-x---…+(-1)2n-1+…f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)=2(x++…++…)当x∈(0,1)时,f(x)>2(x+),这就是第(Ⅱ)问的来源,证明略;(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当k≤2时,f(x)>2(x+)≥k(x+)对x∈(0,1)恒成立;当k>2时,令g(x)=f(x)-k(x+),则(x)=(x)-k(1+x2)=(x2-)g(x)在(0,)上单调递减当0

9、为2.[点评]:对对数函数的泰勒展开式,由基本对数函数ln(1+x)的泰勒展开式,应会通过换元求ln(1-x),lnx等的泰勒展开式;利用泰勒展开式解决不等式恒成立问题可称为“先猜后证”,“先猜后证”是应当掌握的重要方法.3.三角函数的展开式子题类型Ⅲ:(2006年湖南高考试题)已知函数f(x)=x-sinx,数列{an}满足:0

10、nx(x)=1-cosx>0f(x)在(0,1)上单调递增f(0)