简单的线性规划（二）

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1、简单的线性规划（二）简单的线性规划（二）线性规划教学设计方案（二）教学目标　　巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域，能用此来求目标函数的最值．重点难点　　理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点．　　如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点．教学步骤【新课引入】　　我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的学习中，我们可以逐步看到它的运用．【线性规划】　　先讨论下面的问题　　设，式中变量x、y满足下列条件①　　求z的最

2、大值和最小值．　　我们先画出不等式组①表示的平面区域，如图中内部且包括边界．点（0，0）不在这个三角形区域内，当时，，点（0，0）在直线上．　　作一组和平等的直线　　　　可知，当l在的右上方时，直线l上的点满足．即，而且l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（5，2）的直线l，所对应的t最大，以经过点的直线12345678下一页....，。，所对应的t最小，所以　　在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次

3、不等式，所以又称线性约束条件．　　是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数，由于又是x、y的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求线性目标函数在线性约束条件①下的最大值和最小值问题．　　线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示．　　一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解（5，2）和（1，1）分别

4、使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．【应用举例】　　例1解下列线性规划问题：求的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件　　解：先作出可行域，见图中表示的区域，且求得．　　作出直线，再将直线平移，当的平行线过B点时，可使达到最小值，当上一页12345678下一页....，。的平行线过C点时，可使达到最大值．　　　　通过这个例子讲清楚线性规划的步骤，即：　　第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；　　第二步：在可行域内找出最优解所对应的点；　　第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的

5、最大值或最小值．　　例2解线性规划问题：求的最大值，使式中的x、y满足约束条件．　　　解：作出可行域，见图，五边形OABCD表示的平面区域．　　作出直线将它平移至点B，显然，点B的坐标是可行域中的最优解，它使达到最大值，解方程组得点B的坐标为（9，2）．　　∴　　这个例题可在教师的指导下，由学生解出．在此例中，若目标函数设为，约束条件不变，则z的最大值在点C（3，6）处取得．事实上，可行域内最优解对应的点在何处，与目标函数所确定的直线的斜率有关．就这个例子而言，当的斜率为负数时，即时，若上一页123456

6、78下一页....，。（直线的斜率）时，线段BC上所有点都是使z取得最大值（如本例）；当时，点C处使z取得最大值（比如：时），若，可请同学思考．随堂练习1．求的最小值，使式中的满足约束条件　　2．求的最大值，使式中满足约束条件　　答案：1．时，．　　　2．时，．总结提炼1．线性规划的概念．2．线性规划的问题解法．布置作业1．求的最大值，使式中的满足条件　　2．求上一页12345678下一页....，。的最小值，使满足下列条件　　答案：1．　　　2．在可行域内整点中，点（5，2）使z最小，探究活动利润的线性

7、规划　　［问题］某企业1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为81元，请你根据以上信息拟定两个不同的利润增长直线方程，从而预2001年企业的利润，请问你帮该企业预测的利润是多少万？　　［分析］首先应考虑在平面直角坐标系中如何描述题中信息：“1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为8万元”，在确定这三点坐标后，如何运用这三点坐标，是仅用其中的两点，还是三点信息的综合运用，运用时要注意有其合理性、思考的方向可以考虑将通过特殊点的直线、平行某个线段的直

8、线、与某些点距离最小的直线作为预测直线等等．　　建立平面直角坐标系，设1997年的利润为5万元对应的点为（0，5），1998年的利润为7万元及1999年的利润为8万元分别对应点（1，7）和（2，8），那么　　①若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为13万元．　　②若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为11万元．　　③若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：上一页123