高考数学复习好题精选 圆锥曲线的综合问题 理

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1、圆锥曲线的综合问题（理）题组一直线和圆锥曲线的位置关系问题1.若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　　)A．至多一个B．2个C．1个D．0个解析：由直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点得>2，m2＋n2<4，点(m，n)表示的区域在椭圆＋＝1的内部，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为2个．答案：B2．抛物线y2＝4x的焦点是F，准线是l，点M(4,4)是抛物线上一点，则经过点F、M且与l相切的圆共有(　　)A．0个B．1个C．2个D．4个解析：由于

2、圆经过焦点F且与准线l相切，由抛物线的定义知圆心在抛物线上，又因为圆经过抛物线上的点M，所以圆心在线段FM的垂直平分线上，即圆心是线段FM的垂直平分线与抛物线的交点，结合图形易知有两个交点，因此一共有2个满足条件的圆．答案：C3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线x－my＋m＝0与抛物线交于A、B两点，且△OAB(O为坐标原点)的面积为2，则m6＋m4＝________.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x得y2－2mpy＋2pm＝0，∴y1＋y2＝2pm，y1y2＝2pm，(y1－y2)2＝(y1＋y2)2

3、－4y1y2＝4p2m2－8pm.又焦点在x－my＋m＝0上，∴p＝－2m，∴

4、y1－y2

5、＝4，∴S△OAB＝×

6、y1－y2

7、＝2，－m＝，平方得m6＋m4＝2.答案：2题组二直线与圆锥曲线相交中的弦长问题4.(·全国卷Ⅱ)已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与拋物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若

8、FA

9、＝2

10、FB

11、，则k＝(　　)A.B.C.D.解析：过A、B作拋物线准线l的垂线，垂足分别为A1、B1，由拋物线定义可知，

12、AA1

13、＝

14、AF

15、，

16、BB1

17、＝

18、BF

19、，∵2

20、BF

21、＝

22、AF

23、，∴

24、AA1

25、＝2

26、BB1

27、，

28、即B为AC的中点．从而yA＝2yB，联立方程组⇒消去x得：y2－y＋16＝0，∴⇒⇒消去yB得k＝.答案：D5．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，则

29、AB

30、等于(　　)A．3B．4C．3D．4解析：设直线AB的方程为y＝x＋b，由⇒x2＋x＋b－3＝0⇒x1＋x2＝－1，得AB的中点M(－，－＋b)，又M(－，－＋b)在直线x＋y＝0上可求出b＝1，∴x2＋x－2＝0，则

31、AB

32、＝＝3.答案：C6．(·全国卷Ⅱ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点．设

33、FA

34、>

35、

36、FB

37、，则

38、FA

39、与

40、FB

41、的比值等于________．解析：F(1,0)，∴直线AB的方程为y＝x－1.⇒x2－6x＋1＝0⇒x＝3±2.∵

42、FA

43、>

44、FB

45、，由抛物线定义知A点的横坐标为3＋2，B点的横坐标为3－2.＝＝＝＝＝3＋2.答案：3＋2题组三最值与取值范围问题7.(·银川模拟)已知对∀k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是(　　)A．(0,1)B．(0,5)C．x2＋2(1－λ)k2x－(1－λ)(k2＋λ)＝0，由题意知：λ－(1－λ)k2≠0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，∴y1y2＝

46、k2(x1－1)(x2－1)＝，∵·＝0，且M、N在双曲线右支上，∴⇒⇒⇒＜λ＜.综上，知≤λ＜.11．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意∴b＝1，∴所求椭圆方程为＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．①当AB⊥x轴时，

47、AB

48、＝.②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m.由已知＝，得m2＝(k2＋1)．把y＝kx＋m

49、代入椭圆方程，整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝.∴

50、AB

51、2＝(1＋k2)＝＝＝3＋＝3＋(k≠0)≤3＋＝4.当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立．当k＝0时，

52、AB

53、＝.综上所述，

54、AB

55、max＝2.∴当

56、AB

57、最大时，△AOB面积取最大值：Smax＝×

58、AB

59、max×＝.