高考数学二轮专题 空间向量与立体几何针对训练 理

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1、空间向量与立体几何一、选择题1．若不同直线l1，l2的方向向量分别为μ，v，则下列直线l1，l2中既不平行也不垂直的是(　　)A．μ＝(1,2，－1)，v＝(0,2,4)B．μ＝(3,0，－1)，v＝(0,0,2)C．μ＝(0,2，－3)，v＝(0，－2,3)D．μ＝(1,6,0)，v＝(0,0，－4)解析：选B.A项中μ·v＝0＋4－4＝0，∴l1⊥l2；C项中μ＝－v，∴μ，v共线，故l1∥l2；D项中，μ·v＝0＋0＋0＝0，∴l1⊥l2，故选B.2．设A、B、C、D是空间不共面的四个点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD的

2、形状是(　　)A．钝角三角形　　　　　　B．直角三角形C．锐角三角形D．无法确定解析：选C.·＝(－)·(－)＝·－·－·＋2＝2>0，同理·>0，·>0，∴△BCD是锐角三角形，故选C.3．如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为(　　)A.B.C.D.解析：选D.如图所示，连接A1C1，∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴∠AC1A1就是直线AC1与平面A1B1C1D1所成角的平面角．而AC1＝＝3，∴sin∠AC1A1＝＝.4．(高考辽宁卷)如图，四棱

3、锥SABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是(　　)A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析：选D.易证AC⊥平面SBD，因而AC⊥SB，A正确；AB∥DC，DC⊂平面SCD，故AB∥平面SCD，B正确；由于SA，SC与平面SBD的相对位置一样，因而所成的角相同．5．菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝2，∠BCD＝60°，现将其沿对角线BD折成直二面角ABDC(如图)，则异面直线AB与CD所成角的余

4、弦值为(　　)A.B.C.D.解析：选C.·＝(＋)·(＋)＝0＋0＋0－1＝－1，而

5、

6、＝

7、

8、＝2，∴cos〈，〉＝＝－，故异面直线AB与CD所成角的余弦值为.故选C.二、填空题6．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1B1C1D1和侧面CDD1C1的中心，若＋λ＝0，则λ＝________.解析：连接A1D、C1D，A1C1，则EF綊A1D，故＝，即λ＝－.答案：－7．如图所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为________．解析

9、：不妨设三棱柱ABC—A1B1C1的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(，－1,0)，B1(，1,2)，D，则＝，＝(，1,2)．设平面B1DC的法向量为n＝(x，y,1)，由解得n＝(－，1,1)．又∵＝，∴sinθ＝

10、cos〈，n〉

11、＝.答案：8．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P在线段BD1上，当∠APC最大时，三棱锥PABC的体积为________．解析：如图，以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系，设＝λ1(0≤λ≤1)，可得P(λ，λ，λ)，再由cos

12、∠APC＝可求得当λ＝时，∠APC最大，故VPABC＝××1×1×＝，故填.答案：三、解答题9．如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC＝30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC＝4，EA＝3，FC＝1.(1)证明：EM⊥BF；(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．解：(1)证明：因为AC是圆O的直径，所以∠ABC＝90°，又∠BAC＝30°，AC＝4，所以AB＝2，而BM⊥AC，易得AM＝3，BM＝.如图，以A为坐标原点，垂直于AC的直线、AC、AE所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐

13、标系．由已知条件得A(0,0,0)，M(0,3,0)，E(0,0,3)，B(，3,0)，F(0,4,1)，∴＝(0，－3,3)，＝(－，1,1)．由·＝(0，－3,3)·(－，1,1)＝0，得⊥，∴EM⊥BF.(2)由(1)知＝(－，－3,3)，＝(－，1,1)．设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，由n·＝0，n·＝0，得，令x＝得y＝1，z＝2，∴n＝(，1,2)，由已知EA⊥平面ABC，所以平面ABC的一个法向量为＝(0,0,3)，设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为θ，则cosθ＝

14、cos〈n，〉

15、＝＝，故平面BEF与平

16、面ABC所成的锐二面角的余弦值为.10．已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，其中BC＝2AB＝2PA＝6，M，N为侧棱PC上的两个三等分点，如图所示．(1)求证：AN∥平面M