高考数学复习点拨 例谈充要条件的证明问题

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1、例谈充要条件的证明问题充要条件是本章的一个重要内容，也是高考及其他考试的一个热点。证明是的充要条件，，即要证明命题“”为真，又要证明命题“”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性。以下两例，供参考。例1已知数列的前项和为，是不等于0和1的常数），求证数列为等比数列的充要条件是。分析：证明充分性就是证明条件能推出结论，证明必要性则是证明结论能推出条件。证明：（1）先证充分性。∵，∴。∵，∴，又∵，，∴。故数列是公比为的等比数列。（2）再证必要性∵数列为等比数列，∴。∵，∴，。∴。综上所述，数列为等比数列

2、的充要条件是。评注：证明充要条件，首先要找到条件和结论，如本题“证明数列为等比数列的充要条件是”说的很明白，条件是，结论是数列为等比数列。充分性和必要性要逐一证明，并有必要的文字说明。例2已知，求证：的充要条件是。分析：本题中是大前提，证明充要条件，即证明既是充分条件又是必要条件，必须证明必要性与充分性都成立。证明：先证必要性：∵，即，∴，∴必要性成立。再证充分性：∵，即，∴。又∵，∴且，从而，∴，即，∴充分性也成立。故时，的充要条件是。评注：证明充要条件时，要分清充分性是证明怎样的一个式子成立，必要性又是

3、证明怎样的一个式子成立。例3已知方程，求使方程有两个大于1的根的充要条件。分析：求充要条件，则推理的各步应是可逆的，是有实根的充要条件。解析：设方程的两根为、，使、都大于1的充要条件是，即。由韦达定理得，解得。故所求的充要条件为。评注：“，，”，但反过来，“，，”，例如取，有，且，但没有保证两个根都大于1，仅是两根都大于1的必要条件，而不是充分条件。